Question

△ABC中，AB=AC，O在AB上，以O为圆心，OB为半径的圆与BC交于点D，DE⊥AC于E．
（1）判断DE与⊙O的位置关系，并说明理由．
（2）若AC与⊙O相切于F，AB=5，sinA=，求⊙O的半径．

Answer 1

解：（1）DE与⊙O相切；
理由如下：
连接OD，
∵OB=OD，
∴∠ABC=∠ODB；
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB，
∴∠ODB=∠ACB，
∴OD∥AC；
∵DE⊥AC，
∴OD⊥DE，
∴DE与⊙O相切．

（2）⊙O与AC相切于F点，连接OF，
则OF⊥AC，
在Rt△OAF中，sinA==，
在Rt△OFA中，AO²=OF²+AF²，
∴OA=OF，
又∵AB=OA+OB=5，
∴OF+OF=5，
∴OF=
∴⊙O的半径．
分析：（1）先连接OD，根据OB=OD，得出∠ABC=∠ODB，再根据AB=AC，得出∠ABC=∠ACB，∠ODB=∠ACB，从而证出OD∥AC，再根据DE⊥AC，即可得出DE与⊙O的位置关系；
（2）根据切线的性质定理，连接过切点的半径，运用锐角三角函数的定义，用半径表示OA的长，再根据AB的长列方程求解．
点评：本题考查的是切线的判定，要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心和这点（即为半径），再证垂直即可，解题时要熟练运用锐角三角函数的定义表示出两条边之间的关系．