Question

如图，将一个边长为1的正方形纸片ABCD折叠，使点B落在边AD上 不与A、D重合．MN为折痕，折叠后B′C′与DN交于P．
Ⅰ连接B B′，那么B B′与MN的长度相等吗？为什么？
Ⅱ设BM=y，AB′=x，求y与x的函数关系式；
Ⅲ猜想当B点落在什么位置上时，折叠起来的梯形MN C′B′面积最小？并验证你的猜想．

Answer 1

解：Ⅰ、过点N作NR⊥AB，垂足为R，连接BB′交MN于点Q．
则由折叠知，△MBQ与△MB′Q关于直线MN对称，
∴MQ⊥BB′．
在△RNM和△ABB′中，∠A=∠MRN=90°，
∠ABB′+∠BMQ=∠RNM+∠BMN=90°
∴∠ABB′=∠RNM，
又∵RN=AB=1，
∴△RNM≌△ABB′，
∴BB′=MN．

Ⅱ、由Ⅰ可知△MQB∽△B′AB，
∵==，
∵AB′=x，
则BB′=，BQ=，代入上式得：
BM=（x²+1）．

Ⅲ、由Ⅱ得：BM=（x²+1），
CN=BR=BM-MR=（x²+1）-x=（x-1）²，
∵MB′∥NC′，
∴四边形MNC′B′是梯形，
∴S=[（x-1）²+（x²+1）]×1=（x²-x+1），
由S=（x²-x+1）=（x-）²+，
故当x=时，即B落在AD的中点处时，梯形面积最小，其最小值为．
分析：Ⅰ、根据折叠的性质可知，∠A=∠MRN=90°，又∵∠ABB′=∠RNM，RN=AB=1，可知△ABB′≌△RNM，继而可知BB′=MN；
Ⅱ、由Ⅰ可知△MQB∽△B′AB，根据相似三角形的性质得到求y与x的函数关系式；
Ⅲ、由Ⅱ可得到MB′和CN的表达式，继而根据梯形的面积公式求出S的表达式，利用二次函数求出S的最小值．
点评：此题考查了翻折变换，要注意翻折不变性和正方形的性质等隐含条件．题目还涉及二次函数的最值问题，综合性较强．