Question

如图，C为线段BD上一动点，分别过点B、D作AB⊥BD，ED⊥BD，连接AC、EC．已知AB=5，DE=2，BD=12，设CD=x．
（1）用含x的代数式表示AC+CE的长；
（2）请问点C在BD上什么位置时，AC+CE的值最小？
（3）根据（2）中的规律和结论，请构图求出代数式

x2+9

+

(24-x)2+16

的最小值．

Answer 1

分析：（1）由于△ABC和△CDE都是直角三角形，故AC，CE可由勾股定理求得；
（2）若点C不在AE的连线上，根据三角形中任意两边之和＞第三边知，AC+CE＞AE，故当A、C、E三点共线时，AC+CE的值最小；
（3）由（1）（2）的结果可作BD=24，过点B作AB⊥BD，过点D作ED⊥BD，使AB=4，ED=3，连接AE交BD于点C，然后构造矩形AFDB，Rt△AFE，利用矩形的直角三角形的性质可求得AE的值就是代数式

x2+9

+

(24-x)2+16

的最小值．

解答：解：（1）

(12-x) 2+25

+

x2+4

；

（2）当点C是AE和BD交点时，AC+CE的值最小．
∵AB∥ED，AB=5，DE=2，
∴

BC

CD

=

AB

DE

=

5

2

，
又∵BC+CD=BD=12，
则BC=

5

2

CD，CD=

2

5

BC，
∴CD+

5

2

CD=12，
解得：CD=

24

7

．
BC+

2

5

BC=12，
解得：BC=

60

7

，CD=

24

7

．
故点C在BD上距离点B的距离为

60

7

时，AC+CE的值最小；

（3）如右图所示，过点B作AB⊥BD，过点D作ED⊥BD，使AB=4，ED=3，
DB=24，连接AE交BD于点C，
∵AE=AC+CE=

x2+9

+

(24-x)2+16

，
∴AE的长即为代数式

x2+9

+

(24-x)2+16

的最小值．
过点A作AF∥BD交ED的延长线于点F，得矩形ABDF，
则AB=DF=4，AF=BD=24．
所以AE=

AF2+EF2

=

242+(5+2) 2

=25，
即AE的最小值是25．
即代数式

x2+9

+

(24-x)2+16

的最小值为25．

点评：本题主要考查最短路线问题，利用了数形结合的思想，可通过构造直角三角形，利用勾股定理求解．