Question

求所有正实数a，使得方程x²-ax+4a=0仅有整数根．

Answer 1

设两整数根为x，y，
则

x+y=a＞0 xy=4a＞0

，
∴a=

x2

x-4

，
∵a是正实数，
∴

x2

x-4

＞0，
由于x²≥0，（而a是正实数）
∴x-4＞0，即x＞4，
而x是整数，
∴x最小取5．
又∵原方程有根，
∴△=b²-4ac=a²-4×1×4a=a²-16a≥0，
∵a是正实数，
∴a≥16，
∴当x=5时，a=25＞16，y=20；x=6时，a=18，y=12；x=7时，a=

49

3

，y=

28

3

（y不是整数，故舍去）；x=8时，a=16，y=8．
于是a=25或18或16均为所求．