Question

已知，如图，平行四边形ABCD中，F点是DC延长线上的一点，AF交BD于O，交BC于E．求证：
（1）OA²=OE•OF；
（2）BE：AB=BC：DF．

Answer 1

考点：相似三角形的判定与性质,平行四边形的性质

专题：证明题

分析：（1）证明△AOD∽△EOB，△DOF∽△BOA，得到

OF

OA

=

OD

OB

，

OA

OE

=

OD

OB

，即可解决问题．
（2）证明

BE

AB

=

AD

DF

；证明BC=AD，即可解决问题．

解答：证明：（1）∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AB∥DF、AD∥BC，
∴△AOD∽△EOB，△DOF∽△BOA，
∴

OF

OA

=

OD

OB

，

OA

OE

=

OD

OB

，
∴

OF

OA

=

OA

OE

，
即OA²=OE•OF．
（2）∵△AOD∽△EOB，△DOF∽△BOA，
∴

AD

BE

=

DO

OB

，

DF

AB

=

DO

OB

，
∴

AD

BE

=

DF

AB

，
∴

BE

AB

=

AD

DF

；
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴BC=AD，
∴BE：AB=BC：DF．

点评：该题以平行四边形为载体，以考查相似三角形的判定及其性质的应用为核心构造而成；对综合的分析问题解决问题的能力提出了一定的要求．