Question

8．如图，平面直角坐标系xOy中，直线AC分别交坐标轴于A，C（8，0）两点，AB∥x轴，B（6，4）．
（1）求过B，C两点的抛物线y=ax²+bx+4的表达式；
（2）点P从C点出发以每秒1个单位的速度沿线段CO向O点运动，同时点Q从A点出发以相同的速度沿线段AB向B点运动，其中一个动点到达端点时，另一个也随之停止运动．设运动时间为t秒．当t为何值时，四边形BCPQ为平行四边形；
（3）若点M为直线AC上方的抛物线上一动点，当点M运动到什么位置时，△AMC的面积最大？求出此时M点的坐标和△AMC的最大面积．

Answer 1

分析 （1）用待定系数法就可求出过B，C三点的抛物线的表达式．
（2）若四边形BCPQ为平行四边形，则有BQ=CP，从而建立关于t的方程，就可求出t的值．
（3）过点M作x轴的垂线，交AC于点N，设点M的横坐标为m，由S_△AMC=S_△AMN+S_△CMN=$\frac{1}{2}$MN•OC可以得到S_△AMC=-（m-4）²+16．然后利用二次函数的最值性就可解决问题

解答 解：（1）如图1，
∵过B（6，4），C（8，0）两点的抛物线y=ax²+bx+4．
∴$\left\{\begin{array}{l}{36a+6b+4=4}\\{64a+8b+4=0}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{a=-\frac{1}{4}}\\{b=\frac{3}{2}}\end{array}\right.$．
∴过B、C三点的抛物线的表达式为y=-$\frac{1}{4}$x²+$\frac{3}{2}$x+4
（2）如图2，
由题可得：BQ=6-t，CP=t．
当BQ∥CP且BQ=CP时，四边形BCPQ为平行四边形．
∴6-t=t．
解得：t=3．

（3）过点M作x轴的垂线，交AC于点N，如图3，
设直线AC的解析式为y=kx+4，
则有8k+4=0．
解得：k=-$\frac{1}{2}$．
∴直线AC的解析式为y=-$\frac{1}{2}$x+4．
设点M的横坐标为m，
则有y_M=-$\frac{1}{4}$m²+$\frac{3}{2}$m+4，y_N=-$\frac{1}{2}$m+4．
∴MN=y_M-y_N
=（-$\frac{1}{4}$m²+$\frac{3}{2}$m+4）-（-$\frac{1}{2}$m+4）
=-$\frac{1}{4}$m²+2m．
∴S_△AMC=S_△AMN+S_△CMN
=$\frac{1}{2}$MN•OC
=$\frac{1}{2}$×（-$\frac{1}{4}$m²+2m）×8
=-m²+8m
=-（m-4）²+16．（0＜m＜8）
∵-1＜0，
∴当m=4时，S_△AMC取到最大值，最大值为16，此时点M的坐标为（4，6）．

点评 此题是二次函数综合题，主要考查了用待定系数法求二次函数的解析式及一次函数的解析式、二次函数的最值、平行四边形的性质等知识，三角形的面积，有一定的综合性，解本题的关键是掌握坐标系中，求三角形的面积的方法．