Question

如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，E为AC的中点，连接DE并延长交BC于点F，连接AF．
（1）求证：△AED≌△CEF；
（2）在原有条件不变的情况下，请你再添加一个条件（不再增添辅助线），使四边形AFCD成为矩形，并说明理由．

Answer 1

解：（1）证明：∵E为AC的中点，
∴AE=CE，
∵AD∥BC，
∴∠1=∠2，∠3=∠4（两直线平行，内错角相等），
在△AED和△CEF中，
∴△AED≌△CEF（AAS）；

（2）添加条件∠ADC=90°，
∵△AED≌△CEF，
∴DE=EF，
又∵AE=EC，
∴四边形AFCD是平行四边形，
∵∠ADC=90°，
∴四边形AFCD是矩形（有一个角是直角的平行四边形是矩形）．
分析：（1）首先根据线段的中点定义可得AE=CE，再由条件AD∥CB，根据两直线平行，内错角相等可得∠1=∠2，∠3=∠4，利用AAS定理可证明△AED≌△CEF；
（2）添加条件∠ADC=90°，由△AED≌△CEF可得DE=EF，再有AE=CE可以根据对角线互相平分的四边形是平行四边形证明四边形AFCD是平行四边形，再加上条件
∠ADC=90°可以根据矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形可以证明四边形AFCD成为矩形．
点评：此题主要考查了全等三角形的判定与性质，以及矩形的判定，关键是熟练掌握全等三角形的判定方法：AAS、SSS、ASA、SAS，以及矩形的判定方法：①矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形；②有三个角是直角的四边形是矩形；③对角线相等的平行四边形是矩形（或“对角线互相平分且相等的四边形是矩形”）．