如图.在平面直角坐标系中.两个全等的直角三角形的直角顶点及一条直角边重合.点A在第二象限内.点B.点C在x轴的负半轴上.∠CAO=30°.OA=4．(1)求点C的坐标,(2)如图.将△ACB绕点C按顺时针方向旋转30°到△A′CB′的位置.其中A’C交直线OA于点E.A’B’分别交直线OA.CA于点F.G.则除△A′B′C≌△AOC外.还有哪几对全� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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（2006•沈阳）如图，在平面直角坐标系中，两个全等的直角三角形的直角顶点及一条直角边重合，点A在第二象限内，点B、点C在x轴的负半轴上，∠CAO=30°，OA=4．
（1）求点C的坐标；
（2）如图，将△ACB绕点C按顺时针方向旋转30°到△A′CB′的位置，其中A’C交直线OA于点E，A’B’分别交直线OA、CA于点F、G，则除△A′B′C≌△AOC外，还有哪几对全等的三角形，请直接写出答案；（不再另外添加辅助线）
（3）在（2）的基础上，将△A′CB′绕点C按顺时针方向继续旋转，当△COE的面积为

时，求直线CE的函数表达式．

【答案】分析：（1）首先在Rt△ACO中，根据∠CAO=30°解直角三角形可以得到OA，OC的长，然后就可以得到点C的坐标；
（2）根据已知条件容易得到△A′EF≌△AGF或△B′GC≌△CEO或△A′GC≌△AEC；
（3）过点E₁作E₁M⊥OC于点M，利用S_△COE1=4和∠E₁OM=60°可以求出点E₁的坐标，然后利用待定系数法确定直线CE的解析式．此题有两种情况，分别是E在第二或四象限里．
解答：解：（1）∵在Rt△ACO中，∠CAO=30°，OA=4，
∴OC=2，
∴C点的坐标为（-2，0）．

（2）△A′EF≌△AGF或△B′GC≌△CEO或△A′GC≌△AEC．

（3）如图1，过点E₁作E₁M⊥OC于点M．
∵S_△COE1=

CO•E₁M=

，
∴E₁M=

．
∵在Rt△E₁MO中，∠E₁OM=60°，则

，
∴

，
∴点E₁的坐标为（

）．
设直线CE₁的函数表达式为y=k₁x+b₁，

则

，
解得

．
∴

．
同理，如图2所示，点E₂的坐标为（

）．
设直线CE₂的函数表达式为y=k₂x+b₂，则

，
解得

．
∴

．
点评：此题是开放性试题，把直角三角形、全等三角形，一次函数等知识综合在一起，要求学生对这些知识比较熟练，利用几何方法解决代数问题．

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（2）若⊙M与x轴的另一个交点为点D，求A，B，C，D四点的坐标；
（3）求经过A，B，D三点的抛物线的解析式，并判断在抛物线上是否存在点P，使△ADP的面积等于△ADC的面积？若存在，请直接写出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．