Question

（2010•舟山模拟）图（1）是面积都为S的正n边形（n≥3），图（2）是由图（1）中的每个正多边形分别对应“扩展”而来．如：图（2）中的a是由图（1）中的正三角形的每边长三等分，以居中的一条线段向外作正三角形，并把居中线段去掉而得到；图（2）中的b是由图（1）中的正四边形的每边长三等分，以居中的一条线段向外作正四边形，并把居中线段去掉而得到…，以此类推，当图（1）中的正多边形是正十边形时，图（2）中所有“扩展”后的图形面积和为248．则S的值是    ．

Answer 1

【答案】分析：分析可知，每个“扩展”的正多边形都与原多边形相似，其相似比为，根据相似三角形的性质，把8个原多边形面积相加，再把每个“扩展”的正多边形面积全部相加，列出方程求解．
解答：解：因为每个“扩展”的正多边形都与原多边形相似，其相似比为，
根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，列方程
8S+3×（）²S+4×（）²S+5×（）²S+…+10×（）²S=248
即：8S+S=248
124S=9×248，
解得S=18．
故答案为：18．
点评：本题考查了相似三角形的性质：相似三角形的面积比等于相似比的平方．自然数求和的问题．