Question

（2012•东城区二模）已知关于x的方程（1-m）x²+（4-m）x+3=0．
（1）若方程有两个不相等的实数根，求m的取值范围；
（2）若正整数m满足8-2m＞2，设二次函数y=（1-m）x²+（4-m）x+3的图象与x轴交于A、B两点，将此图象在x轴下方的部分沿x轴翻折，图象的其余部分保持不变，得到一个新的图象．请你结合这个新的图象回答：当直线y=kx+3与此图象恰好有三个公共点时，求出k的值（只需要求出两个满足题意的k值即可）．

Answer 1

分析：（1）根据方程有两个不相等的实数根，由一元二次方程的定义和根的判别式可求m的取值范围；
（2）先求出正整数m的值，从而确定二次函数的解析式，得到解析式与x轴交点的坐标，由图象可知符合题意的直线y=kx+3经过点A、B．从而求出k的值．

解答：解：（1）△=（4-m）²-12（1-m）=（m+2）²，
由题意得，（m+2）²＞0且1-m≠0．
故符合题意的m的取值范围是m≠-2且m≠1的一切实数． 

（2）∵正整数m满足8-2m＞2，
∴m可取的值为1和2．
又∵二次函数y=（1-m）x²+（4-m）x+3，
∴m=2．…（4分）
∴二次函数为y=-x²+2x+3．
∴A点、B点的坐标分别为（-1，0）、（3，0）．
依题意翻折后的图象如图所示．
由图象可知符合题意的直线y=kx+3经过点A、B．
可求出此时k的值分别为3或-1．…（7分）
注：若学生利用直线与抛物线相切求出k=2也是符合题意的答案．

点评：本题考查了二次函数综合题．（1）考查了一元二次方程根的情况与判别式△的关系：△＞0?方程有两个不相等的实数根．（2）得到符合题意的直线y=kx+3经过点A、B是解题的关键．