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【题目】为鼓励大学毕业生自主创业,某市政府出台了相关政策:由政府协调,本市企业按成本价提供产品给大学毕业生自主销售,成本价与出厂价之间的差价由政府承担.张刚按照相关政策投资销售本市生产的一种新型节能灯.已知这种节能灯的成本价为每件10元,出厂价为每件12元,每月销售量y(件)与销售单价x(元)之间的关系近似满足一次函数:y=﹣10x+500.
(1)张刚在开始创业的第一个月将销售单价定为20元,那么政府这个月为他承担的总差价为多少元?
(2)设张刚获得的利润为w(元),当销售单价定为多少元时,每月可获得最大利润?
(3)物价部门规定,这种节能灯的销售单价不得高于25元.如果张刚想要每月获得的利润不低于3000元,那么政府为他承担的总差价最少为多少元?

【答案】
(1)解:当x=20时,y=﹣10x+500=﹣10×20+500=300,

300×(12﹣10)=300×2=600元.

即政府这个月为他承担的总差价为600元


(2)解:依题意得,w=(x﹣10)(﹣10x+500)

=﹣10x2+600x﹣5000

=﹣10(x﹣30)2+4000

∵a=﹣10<0,

∴当x=30时,w有最大值4000元.

即当销售单价定为30元时,每月可获得最大利润4000元


(3)解:由题意得:﹣10x2+600x﹣5000=3000,

解得:x1=20,x2=40.

∵a=﹣10<0,抛物线开口向下,

∴结合图象可知:当20≤x≤40时,4000>w≥3000.

又∵x≤25,

∴当20≤x≤25时,w≥3000.

设政府每个月为他承担的总差价为p元,

∴p=(12﹣10)×(﹣10x+500)

=﹣20x+1000.

∵k=﹣20<0.

∴p随x的增大而减小,

∴当x=25时,p有最小值500元.

即销售单价定为25元时,政府每个月为他承担的总差价最少为500元


【解析】(1)把x=20代入y=﹣10x+500求出销售的件数,然后求出政府承担的成本价与出厂价之间的差价;(2)由利润=销售价﹣成本价,得w=(x﹣10)(﹣10x+500),把函数转化成顶点坐标式,根据二次函数的性质求出最大利润;(3)令﹣10x2+600x﹣5000=3000,求出x的值,结合图象求出利润的范围,然后设设政府每个月为他承担的总差价为p元,根据一次函数的性质求出总差价的最小值.

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(2)把图2补充完整;
(3)图3中“不等式与不等式组”内容所在扇形的圆心角为度;
表1

领域

课时数

数与代数

171

图形与几何

152

统计与概率

综合与实践

19

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