Question

小华看着电视里的舞蹈节目：七个身穿不同民族服装的舞蹈演员正在面对观众进行队列变换，他陷入了沉思：这7个演员面对观众一共会有几种队列变换呢？…为了解决这一问题，他是这样思考和探索的：
①若只有一个演员A，那就只有队列变换A，共1种；
②若有二个演员A、B，那就有队列变换：AB和BA，共2种；
③若有三个演员A、B、C，那就有队列变换：ABC、ACB、BAC、BCA、CAB、CBA，共6种；
④若有四个演员A、B、C、D，那就有队列变换（小华把这四个字母在纸上不停的变换顺序地排列着、写着）…数数看，哇！有24种，变化如此之快呀，五个、六个、七个演员呢？看来不可再强攻，否则就…，还是智取吧…
通过查阅资料，小华发现了如下的材料：
材料：从m个人中选出n人排成一列的所有排列方法总数（下均简称排列数）记为A

n m

=m×（m-1）×（m-2）×…×（m-n+1），特别地当m=n时即从m个人中选出m个人进行全排列为A

m m

=m×（m-1）×（m-2）×…×2×1
再应用表格吧，记得书上有这样的例子，老师也曾示范过，它能更加清楚地反映其中的数字规律呢？

演员的个数	1	2	3	4	…
可能有的变换数	1	2	6	24	…

（1）求A

2 5

和A

3 3

的值？
（2）计算这7个舞蹈演员面对观众一共会有几种队列变换？
（3）6个人排成一列，其中甲排最前面，同时乙排最后面的概率是多少？

Answer 1

分析：（1）根据从m个人中选出n人排成一列的所有排列方法总数记为A

n m

=m×（m-1）×（m-2）×…×（m-n+1），可知A

2 5

是从5个人中选出2人排成一列的所有排列方法总数，即为5×4=20；同理得出A

3 3

=3×2×1=6；
（2）根据已知得出7个舞蹈演员跳舞，面对观众作队形变化的规律是7×6×5×4×3×2×1；
（3）先求出6个人排成一列的所有排列方法总数，再求出甲排最前面，同时乙排最后面的排列方法总数，然后根据概率公式求解．

解答：解：（1）A

2 5

=5×4=20，A

3 3

=5×4×3=60；

（2）∵7个舞蹈演员跳舞，
∴面对观众作队列变换的情况有：7×6×5×4×3×2×1=5040；

（3）∵6个人排成一列，不管甲乙的位置，总的排法是从6个人里面选出6个人进行全排列

A

6 6

=6×5×4×3×2×1=720，
其中甲排最前面，同时乙排最后面，相当于是4个人在排

A

4 4

=4×3×2×1=24，
∴6个人排成一列，其中甲排最前面，同时乙排最后面的概率是

24

720

=

1

30

．

点评：此题主要考查了规律性问题以及可能性大小有关知识，得出面对观众作队列变换的规律是解决问题的关键．