Question

如图，已知抛物线过点A（0，6），B（2，0），C（7，

5

2

）．若D是抛物线的顶点，E是抛物线的对称轴与直线AC的交点，F与E关于D对称．
（1）求抛物线的解析式；
（2）在y轴上是否存在这样的点P，使△AFP与△FDC相似？若有，请求出所有合条件的点P的坐标；若没有，请说明理由．

Answer 1

考点：二次函数综合题

专题：

分析：（1）设抛物线解析式为y=ax²+bx+c，将A、B、C三点坐标代入，列方程组求抛物线解析式；
（2）存在．求直线AC的解析式，确定E点坐标，根据对称性求F点坐标，分别求直线AF，CF的解析式，确定两直线与x轴的交点坐标，判断两个交点关于抛物线对称轴对称；由∠CFE=∠AFE=∠FAP，△AFP与△FDC相似时，顶点A与顶点F对应，根据△AFP∽△FDC，△AFP∽△FCD，两种情况求P点坐标．

解答：解：（1）设抛物线解析式为y=ax²+bx+c，将A、B、C三点坐标代入，得

c=6 4a+2b+c=0 49a+7b+c=  5 2

，
解得

a= 1 2 b=-4 c=6

．
故抛物线解析式为y=

1

2

x²-4x+6；

（2）存在．
设直线AC的解析式y=mx+n，
将A、C两点坐标代入，得

n=6 7m+n= 5 2

，
解得

m=- 1 2 n=6

，
∴y=-

1

2

x+6，
∵y=

1

2

x²-4x+6=

1

2

（x-4）²-2，
∴D（4，-2），E（4，4），
∵F与E关于D对称，
∴F（4，-8），则直线AF的解析式为y=-

7

2

x+6，CF的解析式为y=

7

2

x-22，
∴直线AF，CF与x轴的交点坐标分别为（

12

7

，0），（

44

7

，0），
∵4-

12

7

=

44

7

-4，
∴两个交点关于抛物线对称轴x=4对称，
∴∠CFE=∠AFE；
设P（0，d），则AP=|6-d|，AF=

42+(6+8)2

=2

53

，
FD=-2-（-8）=6，CF=

(7-4)2+( 5 2 +8)2

=

3 53

2

，
∵∠PAF=∠CFD，
∴点P位于点A的下方，
当△AFP∽△FDC时，

AP

AF

=

FC

FD

，即

6-d

2 53

=

3 53 2

6

，解得d=-

41

2

；
当△AFP∽△FCD时，

AP

AF

=

FD

FC

，即

6-d

2 53

=

6

3 53 2

，解得d=-2．
∴P点坐标为（0，-

41

2

）或（0，-2）．

点评：本题考查了二次函数的综合运用．关键是根据已知条件求抛物线解析式，根据抛物线的对称性，相似三角形的知识解题．