Question

已知：关于x的一元二次方程mx²-3（m-1）x+2m-3=0（m为实数）
（1）若方程有两个不相等的实数根，求m的取值范围；
（2）求证：无论m为何值，方程总有一个固定的根；
（3）若m为整数，且方程的两个根均为正整数，求m的值．

Answer 1

分析：（1）根据b²-4ac与零的关系即可判断出的关于x的一元二次方程mx²-3（m-1）x+2m-3=0（m为实数）有两个不相等的实数根的m的取值范围；
（2）用求根公式求得方程总有一个固定的根是1；
（3）利用（2）的解题结果x1=2-

3

m

必为整数，可得m=±1或m=±3，再根据方程两个根均为正整数，求得m的值．

解答：（1）解：∵方程有两个不相等的实数根，
∴（m-3）²＞0且m≠0，
∴m的取值范围是m≠3且m≠0；

（2）证明：由求根公式，得x=

-b± b2-4ac

2a

=

3(m-1)±(m-3)

2m

，
∴x1=

3m-3+m-3

2m

=

2m-3

m

=2-

3

m

，x2=

3m-3-m+3

2m

=1，
∴无论m为何值，方程总有一个固定的根是1；

（3）∵m为整数，且方程的两个根均为正整数，
∴x1=2-

3

m

必为整数，
∴m=±1或m=±3，
∵m≠3，
∴当m=1时，x₁=-1；当m=-1时，x₁=5；
当m=-3时，x₁=3．
∴m=-1或m=-3．

点评：本题考查了根的判别式，在解一元二次方程的根时，利用根的判别式△=b²-4ac与0的关系来判断该方程的根的情况；同时考查了用公式法解一元二次方程的一般步骤为：①把方程化成一般形式，进而确定a，b，c的值（注意符号）；②求出b²-4ac的值（若b²-4ac＜0，方程无实数根）；③在b²-4ac≥0的前提下，把a、b、c的值代入公式进行计算求出方程的根．