Question

在△ABC中，点D、M、N分别在边AB、CA、CB上，
（1）若D为AB中点，且∠MDN=∠CAB+∠CBA．
①如图1，当BC=AC时，探索MD、ND的数量关系，并证明；
②如图2，当BC=k•AC时，探索MD、ND的数量关系（用含k的式子表示），并证明；
（2）如图3，点D、M、N分别在边AB、CA、CB的延长线上，BC=k•AC，AB=m•BD，且∠MDN=∠ACB，猜想MD、ND的数量关系是

 

（直接写出答案，用含k、m的式子表示）

Answer 1

考点：相似形综合题

专题：

分析：（1）①连接CD，过D作DE⊥AC于E，DF⊥BC于F．先由三角形内角和定理及已知条件得出∠MDN=∠EDF=180°-∠C，则∠EDM=∠FDN，根据等腰三角形三线合一的性质得出CD平分∠ACB，由角平分线的性质得到DE=DF，再利用AAS证明△EMD≌△FND，得出MD=ND；
②连接CD，过D作DE⊥AC于E，DF⊥BC于F．由D为AB中点，根据三角形的面积公式可得S_△ACD=S_△CDB，即

1

2

AC•DE=

1

2

BC•DF，则

DE

DF

=

BC

AC

=k，再由三角形内角和定理及已知条件得出∠MDN=∠EDF=180°-∠C，则∠EDM=∠FDN，又∠DEM=∠DFN=90°，得出△EMD∽△FND，根据相似三角形对应边成比例得出

MD

ND

=

DE

DF

=k，即MD=kND；
（2）连接CD，过D作DE⊥AC于E，DF⊥BC于F，过B作BG⊥AC于G，设CN、DM交于O．由BG∥DE，得出△ABG∽△ADE，则

BG

DE

=

AB

AD

=

m

m+1

，即BG=

m

m+1

•DE．根据三角形的面积公式得到S_△ABC：S_△BDC=AB：BD=m=

1

2

AC•BG：

1

2

BC•DF=BG：kDF，即BG：DF=km，DE：DF=k•（m+1）．再证明△COM∽△DON，得出∠M=∠N，又∠DEM=∠DFN=90°，得到△DEM∽△DFN，根据相似三角形对应边成比例得出

MD

ND

=

DE

DF

=k•（m+1），即MD=k•（m+1）ND．

解答：解：（1）①MD=ND，理由如下：
如图1，连接CD，过D作DE⊥AC于E，DF⊥BC于F．
∵∠MDN=∠A+∠B=180°-∠C，
∠EDF=360°-∠DEC-∠DFC-∠C=360°-90°-90°-∠C=180°-∠C，
∴∠MDN=∠EDF，
∴∠EDM=∠FDN．
∵BC=AC，D为AB中点，
∴CD平分∠ACB，
∵DE⊥AC于E，DF⊥BC于F，
∴DE=DF．
在△EMD与△FND中，

∠EDM=∠FDN DE=DF ∠DEM=∠DFN

，
∴△EMD≌△FND（ASA），
∴MD=ND；

②MD=k•ND，理由如下：
如图2，连接CD，过D作DE⊥AC于E，DF⊥BC于F．
∵D为AB中点，
∴S_△ACD=S_△CDB，
∴

1

2

AC•DE=

1

2

BC•DF，
∴AC•DE=BC•DF，
∴

DE

DF

=

BC

AC

=k．
∵∠MDN=∠A+∠B=180°-∠C，
∠EDF=360°-∠DEC-∠DFC-∠C=360°-90°-90°-∠C=180°-∠C，
∴∠MDN=∠EDF，
∴∠EDM=∠FDN，
又∵∠DEM=∠DFN=90°，
∴△EMD∽△FND，
∴

MD

ND

=

DE

DF

=k，
∴MD=kND；

（2）MD=k•（m+1）•ND，理由如下：
如图3，连接CD，过D作DE⊥AC于E，DF⊥BC于F，过B作BG⊥AC于G，设CN、DM交于O，
∴BG∥DE，
∴△ABG∽△ADE，
∴

BG

DE

=

AB

AD

=

mBD

mBD+BD

=

m

m+1

，
∴BG=

m

m+1

•DE．
∵S_△ABC：S_△BDC=AB：BD=m=

1

2

AC•BG：

1

2

BC•DF=BG：kDF，
∴BG：DF=km，
∴

m

m+1

•DE：DF=km，
∴DE：DF=k•（m+1）．
∵∠MDN=∠MCB，∠COM=∠DON，
∴△COM∽△DON，
∴∠M=∠N，
∵∠DEM=∠DFN=90°，
∴△DEM∽△DFN，
∴

MD

ND

=

DE

DF

=k•（m+1），
∴MD=k•（m+1）ND．
故答案为MD=k•（m+1）•ND．

点评：本题考查了全等三角形、相似三角形的判定与性质，三角形内角和定理，等腰三角形、角平分线的性质，三角形的面积等知识，综合性较强，难度较大，解题的关键是注意数形结合思想的应用与辅助线的作法．