Question

4．如图，一次函数y=$\frac{1}{2}$x+m与坐标轴交于A，B两点，点C在直线AB上，且AC=2AB，以A为旋转中心，逆时针旋转线段AC，使得点C恰好落在Y轴正半轴上点C′处．
（1）求∠CAC′的正切值；
（2）点E是直线AC′上一点，连接CE，BE，若△ACE与△BCE相似，且m=1，求此时点E的坐标；
（3）在（2）的条件下，作CD垂直于X轴，将△AOC′沿Y轴向下以每秒2个单位长度的速度向下运动，将△ACD沿着CA方向在直线AC上衣每秒$\sqrt{5}$单位长度的速度运动，求出在此运动过程中两三角形重叠部分面积的最大值以及当时的t值．

Answer 1

分析 （1）由题意A（-2m，0），B（0，m），C（2m，2m），C′（0，4m），推出AO=2m，OB=m，C′B=3m．作C′H⊥AC于H，由△AOB∽△C′HB，可得C′H=$\frac{6\sqrt{5}}{5}$m，BH=$\frac{3\sqrt{5}}{5}$m，根据tan∠CAC′=$\frac{C′H}{AH}$，计算即可；
（2）设E（n，2n+4），由EC²=（n-2）²+（2n+4-2）²，AB=BC=$\sqrt{5}$，由△CAE∽△CEB，推出EC²=CB•CA，可得（n-2）²+（2n+4-2）²=10，解方程即可解决问题；
（3）分三种情形讨论即可①如图1中，当0＜t＜1时，重叠部分是四边形MNBK．②如图2中，当1≤t＜$\frac{6}{5}$时，重叠部分是四边形MNCD．③当$\frac{6}{5}$≤t≤$\frac{8}{5}$时，重叠部分是△MND．分别求解即可解决问题．

解答 解：（1）由题意A（-2m，0），B（0，m），C（2m，2m），C′（0，4m），
∴AO=2m，OB=m，C′B=3m．
作C′H⊥AC于H，由△AOB∽△C′HB，可得C′H=$\frac{6\sqrt{5}}{5}$m，BH=$\frac{3\sqrt{5}}{5}$m，

∵AB=$\sqrt{5}$m，
∴AH=$\frac{8\sqrt{5}}{5}$，
∴tan∠CAC′=$\frac{C′H}{AH}$=$\frac{3}{4}$．

（2）当m=1时，A（-2，0），B（0，1），C（2，2），C′（0，4），
∴直线AC′的解析式为y=2x+4，
设E（n，2n+4），
∴EC²=（n-2）²+（2n+4-2）²，AB=BC=$\sqrt{5}$，
∵△CAE∽△CEB，
∴EC²=CB•CA，
∴（n-2）²+（2n+4-2）²=10，
解得n=$\frac{-2±\sqrt{14}}{5}$，
∴点E坐标为（$\frac{-2+\sqrt{14}}{5}$，$\frac{16+2\sqrt{14}}{5}$）或（$\frac{-2-\sqrt{14}}{5}$，$\frac{16-2\sqrt{14}}{5}$）．

（3）①如图1中，当0＜t＜1时，重叠部分是四边形MNBK．

S=S_△ABK-S_△AMN=-$\frac{13}{12}$t²+2t+1，当t=$\frac{12}{13}$时，S最大值=$\frac{25}{13}$．
②∵直线A′C′的解析式为y=2x+4-2t，直线AC的解析式为y=$\frac{1}{2}$x+1，
由$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{1}{2}x+1}\\{y=2x+4-2t}\end{array}\right.$，解得x=$\frac{4t-6}{3}$，
当点C在直线A′C′上时，2-2t=$\frac{4t-6}{3}$，解得t=$\frac{6}{5}$，
∴当1≤t＜$\frac{6}{5}$时，重叠部分是四边形MNCD，

S=S_△ACD-S_△AMN=-$\frac{25}{12}$t²+$\frac{5}{3}$t+1，当t=1是，S最大值=$\frac{7}{12}$．
③∵点D在直线y=$\frac{1}{2}$x-1上运动，
由$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{1}{2}x-1}\\{y=2x+4x-2t}\end{array}\right.$，解得x=$\frac{4t-10}{3}$，
当点D在直线A′C′上时，2-2t=$\frac{4t-10}{3}$，解得t=$\frac{8}{5}$，
∴当$\frac{6}{5}$≤t≤$\frac{8}{5}$时，重叠部分是△MND，

S=S_△MND=$\frac{25}{4}$t²-20t+16，当t=$\frac{6}{5}$时，S 最大值=1，
综上所述，重叠部分的面积的最大值为$\frac{25}{13}$，此时t=$\frac{12}{13}$．

点评 本题考查一次函数综合题、待定系数法、解直角三角形、二次函数的性质、相似三角形的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会圆分类讨论的思想思考问题，学会构建一次函数利用方程组确定灵活函数图象的交点，属于中考压轴题．