Question

已知直线l与x轴、y轴分别交于A（2，0）、B（0，2）两点，双曲线（k＞0）在第一象限的一支与AB不相交，过双曲线上一点P作PM⊥x轴于M，PN⊥y轴于N，分别交AB于E、F．
（1）如果S_△EOF=，PM=，求双曲线的解析式；
（2）当P在（1）中双曲线上移动，∠EOF的大小始终为45°不变，此时，双曲线上存在这样的点P，使OE=OF，求出此时点P的坐标．

Answer 1

解：（1）设直线l的解析式为y=kx+b（k≠0），
∵A（2，0）、B（0，2），
∴，解得，
∴此直线的解析式为y=-x+2，
∵点E在直线l上，
∴设E（a，-a+2），
∵S_△EOF=，PM=，PM⊥x轴于M，PN⊥y轴于N，
∴S_△EOF=S_△AOF-S_△AOE=OA•PM-OA•ME
=×2×-×2×（-a+2）
=+a-2=，
解得a=，
∴E（，），
∴P（，），
∵点P在双曲线y=上，
∴k=×=2，
∴抛物线的解析式为：y=；

（2）如图所示，过点O作OD⊥AB于点D，
∵OB=OA，
∴BD=AD，
∴当OE=OF时DE=DF，
∴BF=AE，
∵△BNF与△AME均是等腰直角三角形，
∴BN=NF=ME=AM，
∴ON=OM，即四边形NOMP是正方形，
设P（x，x），则x=，解得x=或x=-（舍去），
∴P（，）．
分析：（1）先用待定系数法求出直线l的解析式，设出E点坐标，再根据S_△EOF=S_△AOF-S_△AOE即可得出E点坐标，进而得出P点坐标，把P点坐标代入双曲线y=即可得出结论；
（2）过点O作OD⊥AB于点D，因为OB=OA，故BD=AD，当OE=OF时可得DE=DF，故可得出BF=AE，再根据△BNF与△AME均是等腰直角三角形可知BN=NF=ME=AM，故ON=OM，即四边形NOMP是正方形，设P（x，x），代入（1）中反比例函数的解析式即可得出x的值，进而得出结论．
点评：本题考查的是反比例函数综合题，涉及到用待定系数法求一次函数及反比例函数的解析式、等腰三角形的性质等知识，难度适中．