Question

如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，AD⊥DC，点A关于对角线BD的对称点F刚好落在腰DC上，连接AF交BD于点E，AF的延长线与BC的延长线交于点G，M，N分别是BG，DF的中点．

（1）求证：四边形EMCN是矩形；
（2）若AD=2，S_梯形ABCD=，求矩形EMCN的长和宽．

Answer 1

解：（1）证明：∵点A、F关于BD对称，∴AD=DF，DE⊥AF。
又∵AD⊥DC，∴△ADF、△DEF是等腰直角三角形。∴∠DAF=∠EDF=45°。
∵AD∥BC，∴∠G=∠GAF=45°。∴△BGE是等腰直角三角形。
∵M，N分别是BG，DF的中点，∴EM⊥BC，EN⊥CD。
又∵AD∥BC，AD⊥DC，∴BC⊥CD。∴四边形EMCN是矩形。
（2）由（1）可知，∠EDF=45°，BC⊥CD，∴△BCD是等腰直角三角形。∴BC=CD，
∴S_梯形ABCD=（AD+BC）•CD=（2+CD）•CD=，即CD²+2CD﹣15=0。
解得CD=3，CD=﹣5（舍去）。
∵△ADF、△DEF是等腰直角三角形，∴DF=AD=2。
∵N是DF的中点，∴EN=DN=DF=×2=1。
∴CN=CD﹣DN=3﹣1=2。
∴矩形EMCN的长和宽分别为2，1。

试题分析：（1）根据轴对称的性质可得AD=DF，DE⊥AF，判断出△ADF、△DEF是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质求出∠DAF=∠EDF=45°，根据两直线平行，内错角相等求出∠BCE=45°，然后判断出△BGE是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质可得EM⊥BC，EN⊥CD，再根据矩形的判定证明即可。
（2）判断出△BCD是等腰直角三角形，然后根据梯形的面积求出CD的长，再根据等腰直角三角形的性质求出DN，即可得解。