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    （2013•鄞州区模拟）如图1，己知矩形ABCD中，BC=2，AB=4，点E从点A出发沿AB方向以每秒1个单位的速度向点B匀速运动，同时点F从点C出发沿BC的延长线方向以每秒2个单位的速度匀速运动，当E运动到点B时，点F停止运动．连接EF交DC于K，连接DE，DF，设运动时间为t秒．

    （1）求证：△DAE∽△DCF；
    （2）当DK=KF时，求t的值；
    （3）如图2，连接AC与EF相交于O，画EH⊥AC于H．
    ①试探索点E、F在运动过程中，OH的长是否发生改变，若不变，请求出OH的长；若改变，请说明理由．
    ②当点O是线段EK的三等分点时，直接写出tan∠FOC的值．
    分析：（1）求出
    AE
    CF
    =
    AD
    CD
    =
    1
    2
    ，∠DAE=∠DCF=90°，根据相似三角形的判定推出即可；
    （2）根据相似得出∠ADE=∠CDF，求出EK=KF，证△FKC∽△FEB，得出
    2t
    2t+2
    =
    1
    2
    ，求出即可；
    （3）①点E、F在运动过程中，OH的长不变，理由是：作EM∥BC，交AC于M，设∠BAC=α，则tanα=
    1
    2
    ，得出AE=t，CF=2t，求出EM=
    1
    2
    t，证△MEO∽△CFO，得出
    MO
    OC
    =
    EM
    CF
    =
    1
    4
    ，求出MO=
    1
    5
    CM，设HM=a，则EH=2a，AH=4a，求出MH=
    1
    5
    AM，推出OH=
    1
    5
    AC，求出AC即可求出OH；②tan∠FOC的值是
    7
    6
    或
    1
    3
    ，理由是：根据△FKC∽△FEB求出KC=
    t(4-t)
    t+1
    ，根据△CKO∽△AEO得出
    AE
    CK
    =
    EO
    OK
    ，当
    AE
    CK
    =
    EO
    OK
    =
    2
    1
    时得出
    t
    t(4-t)
    t+1
    =2，求出t，即可得出AE长，根据△AEH∽△ACB，求出EH，当
    AE
    CK
    =
    EO
    OK
    =
    1
    2
    时得出
    t
    t(4-t)
    t+1
    =
    1
    2
    ，求出t，根据△AEH∽△ACB，求出EH的值，解直角三角形求出即可．
    解答：解：（1）由题意，得AE=t，CF=2t．
    ∵矩形ABCD中，BC=AD=2，AB=CD=4，
    ∴
    AE
    CF
    =
    AD
    CD
    =
    1
    2
    ，
    ∵∠DAE=∠DCF=90°，
    ∴△DAE∽△DCF；

    （2）∵△DAE∽△DCF，
    ∴∠ADE=∠CDF，
    ∵∠ADE+∠EDC=90°，
    ∴∠CDF+∠EDC=90°，即∠EDF=90°，
    ∵DK=KF，
    ∴∠KDF=∠KFD，
    ∵∠DEK+∠KFD=90°，∠EDK+∠KDF=90°，
    ∴∠DEK=∠EDK，
    ∴DK=EK，
    ∴EK=KF，
    ∵AB∥CD，
    ∴△FKC∽△FEB，
    ∴
    2t
    2t+2
    =
    1
    2
    ，
    t=1；

    （3）①点E、F在运动过程中，OH的长不变，
    理由是：作EM∥BC，交AC于M，设∠BAC=α，则tanα=
    1
    2
    ，
    ∵AB⊥BC，
    ∴ME⊥AB，
    ∵AB⊥AC，
    ∴∠HEM=α，
    ∵AE=t，CF=2t，
    ∴EM=
    1
    2
    t，
    ∵∠EOM=∠FOC，∠MEO=∠CFO，
    ∴△MEO∽△CFO，
    ∴
    MO
    OC
    =
    EM
    CF
    =
    1
    4
    ，
    ∴MO=
    1
    4
    OC，
    ∴MO=
    1
    5
    CM，
    设HM=a，则EH=2a，AH=4a，
    ∴MH=
    1
    5
    AM，
    ∴OH=OM+MH=
    1
    5
    CM+
    1
    5
    AM=
    1
    5
    AC，
    在Rt△ABC中，AB=4，BC=2，由勾股定理得：AC=2
    		5
    ，
    ∴OH=
    2
    		5
    5
    ，
    即点E、F在运动过程中，OH的长度不变，是
    2
    		5
    5
    ；
    ②tan∠FOC的值是
    7
    6
    或
    1
    3
    ，
    理由是：∵四边形ABCD是矩形，
    ∴CD∥AB，
    ∴△FKC∽△FEB，
    ∴
    KC
    BE
    =
    CF
    BF
    ，
    ∴
    KC
    4-t
    =
    2t
    2t+2
    ，
    ∴KC=
    t(4-t)
    t+1
    ，
    ∵AB∥CD，
    ∴△CKO∽△AEO，
    ∴
    AE
    CK
    =
    EO
    OK
    ，
    当
    AE
    CK
    =
    EO
    OK
    =
    2
    1
    时，
    t
    t(4-t)
    t+1
    =2，
    t=0（舍去），t=
    7
    3
    ，
    ∵EH⊥AC，
    ∴∠EHA=∠ABC=90°，
    ∵∠EAH=∠BAC，
    ∴△AEH∽△ACB，
    ∴
    AE
    AC
    =
    EH
    BC
    ，
    ∴
    7
    3
    2
    		5
    =
    EH
    2
    ，
    ∴EH=
    7
    		5
    15
    ，
    ∴tan∠FOC=tan∠EOH=
    EH
    OH
    =
    7
    		5
    15
    2
    		5
    5
    =
    7
    6
    ；
    当
    AE
    CK
    =
    EO
    OK
    =
    1
    2
    时，
    t
    t(4-t)
    t+1
    =
    1
    2
    ，
    t=0（舍去），t=
    2
    3
    ，
    ∵EH⊥AC，
    ∴∠EHA=∠ABC=90°，
    ∵∠EAH=∠BAC，
    ∴△AEH∽△ACB，
    ∴
    AE
    AC
    =
    EH
    BC
    ，
    ∴
    2
    3
    2
    		5
    =
    EH
    2
    ，
    ∴EH=
    2
    		5
    15
    ，
    ∴tan∠FOC=tan∠EOH=
    EH
    OH
    =
    2
    		5
    15
    2
    		5
    5
    =
    1
    3
    ．
    点评：本题考查了相似三角形的性质和判定，矩形性质和判定，直接直角三角形的应用，主要考查学生的推理能力，题目比较好，但是难度偏大．
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    2
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    2
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