Question

如图所示，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，∠B=45°，O为BC中点，如果点M、N分别在线段AB、AC上移动，设AM的长为x，CN的长为y，且x、y满足等式

x-a

+

x-y

=0（a＞0）．
（1）求证：BM=AN；
（2）请你判断△OMN的形状，并证明你的结论；
（3）求证：当OM∥AC时，无论a取何正数，△OMN与△ABC面积的比总是定值

1

4

．

Answer 1

分析：（1）由等式可得出x=y=a，结合等腰直角三角形的性质，即可证得；
（2）作OE⊥AC，OF⊥AB，通过证明△OFM≌△OEN，可得OM=ON，根据全等三角形的性质，只要证得∠MON=90°，即可证得；
（3）当OM∥AC时，OM、ON是等腰Rt△ABC的中位线，由三角形的面积计算公式，表示出三角形的面积，比较出其比值即可；

解答：（1）证明：∵x、y满足等式

x-a

+

x-y

=0（a＞0），
∴x=y=a，即AM=CN=a，
∵Rt△ABC中，∠BAC=90°，∠B=45°，
∴AB=AC，
∴BM=AN；

（2）解：△OME是等腰直角三角形．
证明：作OE⊥AC，OF⊥AB，
∴∠OFM=∠ONE=∠FOE=90°，
∵点O是BC的中点，
∴OE=OF=

1

2

AB=

1

2

AC，AF=BF，AE=CE，
∴OF=OE，AF=CE，
∴AF-AM=CE-CN，
∴MF=NE，
∴在△OFM和△OEN中

OF=OE ∠OFM=∠OEN FM=EN

，
∴△OFM≌△OEN，
∴OM=ON，∠MOF=∠NOE，
∵∠FOM+∠MOE=90°，
∴∠MOE+∠NOE=∠MON=90°，
∴△OME是等腰直角三角形；

（3）证明：当OM∥AC时，
∵点O为BC的中点，
∴OM∥AC，OM=

1

2

AC，
∵△MON是等腰直角三角形，
∴ON∥AB，ON=

1

2

AB，
∴OM=ON=a，AB=AC=2a，
又∵S_△OMN=

1

2

OM×ON=

1

2

a2，
S_△ABC=

1

2

AB×AC=2a²，
∴S_△OMN：S_△ABC=

1

4

．

点评：本题主要考查了等腰直角三角形的判定与性质、全等三角形的性质和非负数的性质，考查了学生的综合运用能力和空间想象能力．