Question

菱形ABCD的边长为6，∠ABC=120°，E、F分别是边AB，BC上的两个动点，且满足AE=BF．
（1）求DB的长；
（2）判断△DEF的形状，并说明理由；
（3）设△DEF的周长为L，求L的最小值．

Answer 1

解：（1）∵四边形ABCD是菱形
∴AD=AB，BD是∠ABC的角平分线
∴∠ABD=∠ADB=120°÷2=60°
∴△ABD是等边三角形
∴BD=AB=AD=6；

（2）△DEF是等边三角形
∵在△ADE与△BDF中，AD=BD，∠DAE=∠DBF=60°，AE=BF
∴△ADE≌△BDF（SAS）
∴DE=DF，∠ADE=∠BDF
∴∠ADE+∠EDB=∠BDF+∠EDB=60°
∴△DEF是等边三角形；

（3）当DE⊥AB时，DE最短，此时△DEF的周长最短
∵在RT△ADE中，sin60°=
∴DE=AD×sin60°=3
∵△DEF是等边三角形
∴L=3×3=9．
分析：（1）根据菱形对角线平分且垂直的性质，求得BD；
（2）先证明△OCE≌△ODE，得DE=DF，∠ADE=∠BDF，从而得到∴△DEF是等边三角形；
（3）先确定条件，即当DE⊥AB时，DE最短，此时△DEF的周长最短，由三角函数求出DE，从而得出L的最小值．
点评：本题是菱形的性质与三角函数综合性的题目，难度较大．