Question

如图，以AB为直径的⊙O是△ADC的外接圆，过点O作PO⊥AB，交AC于点E，PC的延长线交AB的延长线于点F，∠PEC=∠PCE．
（1）求证：FC为⊙O的切线；
（2）若△ADC是边长为a的等边三角形，求AB的长．（用含a的代数式表示）

Answer 1

（1）证明：连接OC．
∵OA=OC（⊙O的半径），
∴∠EAO=∠ECO（等边对等角）．
∵PO⊥AB，∴∠EAO+∠AEO=90°（直角三角形中的两个锐角互余）．
∵∠PEC=∠PCE（已知），∠PEC=∠AEO（对顶角相等）
∴∠AEO=∠PCE（等量代换），
∴∠PCO=∠ECO+∠PCE=∠EAO+∠AEO=90°．即OC⊥FC，
∵点C在⊙O上，
∴FC为⊙O的切线．

（2）解：连接BC．
∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°．
∵△ADC是边长为a的等边三角形，
∴∠ABC=∠D=60°，AC=a．
在Rt△ACB中，∵sin∠ABC=
∴AB==a．
分析：（1）连接OC．欲证FC为⊙O的切线，只需证明OC⊥FC即可；
（2）连接BC．由等边三角形的性质、“同弧所对的圆周角相等”推知∠ABC=∠ADC=60°；然后在直角△ABC中利用正弦三角函数的定义来求AB线段的长度．
点评：本题考查了圆周角定理、等边三角形的性质以及解直角三角形等知识点．
解直角三角形要用到的关系：①锐角直角的关系：∠A+∠B=90°；②三边之间的关系：a²+b²=c²；③边角之间的关系：
sinA=∠A的对边斜边=ac，cosA=∠A的邻边斜边=bc，tanA=∠A的对边∠A的邻边=ab．（a，b，c分别是∠A、∠B、∠C的对边）