Question

观察等式找规律，灵活运用巧计算．
①2²-1²=（2-1）（a+1）；
②3²-1²=（3+b）（3+1）；
③4²-1²=（c-1）（4+1）；
…
（1）求出等式中的a、b、c；
（2）根据你发现的规律，直接写出第n个等式（用含有n的等式表示）；
（3）运用你发现的规律求(1-

1

22

)(1-

1

32

)(1-

1

42

)…(1-

1

20122

)(1-

1

20132

)的值．

Answer 1

分析：（1）根据所给的式子，分别进行计算，即可求出a，b，c的值；
（2）根据所给的式子，找出规律，第几个数是第几个数加1的平方减1的平方就等于第几个数加1减1乘以第几个数加1加1，即可得出第n个等式；
（3）把括号中的数进行通分，再根据平方差公式进行计算，然后约分，即可得出答案．

解答：解：（1）∵2²-1²=（2-1）（a+1），
∴3=a+1，
∴a=2；
∵3²-1²=（3+b）（3+1），
∴2=3+b．
∴b=-1；
∵4²-1²=（c-1）（4+1），
∴3=c-1，
∴c=4；
（2）根据（1）可得：
（n+1）²-1²=[（n+1）-1][（n+1）+1]．
（3）原式=（

22-1

22

）（

32-1

32

）（

42-1

42

）…（

20122-1

20122

）（

20132-1

20132

）=

(2-1)(2+1)

22

×

(3-1)(3+1)

32

×

(4-1)(4+1)

42

×…×

(2012-1)(2012+1)

20122

×

(2013-1)(2013+1)

20132

=

1×3

22

×

2×4

32

×

3×5

42

×…×

2011×2013

20122

×

2012×2014

20132

=

1

2

×

2014

2013

=

1007

2013

．

点评：此题考查了数字的变化类，通过观察，分析、归纳并发现其中的规律，并应用发现的规律解决问题是本题的关键，用到的知识点是、通分、约分、平方差公式．