Question

一副直角三角板由一块含30°的直角三角板与一块等腰直角三角板组成，且含30°角的三角板的较长直角边与另一三角板的斜边相等（如图1）

（1）如图1，这副三角板中，已知AB=2，AC=

2

3

，A′D=

6

（2）这副三角板如图1放置，将△A′DC′固定不动，将△ABC通过旋转或者平移变换可使△ABC的斜边BC经过△A′DC^′′的直角顶点D．
方法一：如图2，将△ABC绕点C按顺时针方向旋转角度α（0°＜α＜180°）
方法二：如图3，将△ABC沿射线A′C′方向平移m个单位长度
方法三：如图4，将△ABC绕点A按逆时针方向旋转角度β（0°＜β＜180°）
请你解决下列问题：
①根据方法一，直接写出α的值为：

15°

；
②根据方法二，计算m的值；
③根据方法三，求β的值．
（3）若将△ABC从图1位置开始沿射线A′C′平移，设AA′=x，两三角形重叠部分的面积为y，请直接写出y与x之间的函数关系式和相应的自变量x的取值范围．

Answer 1

分析：（1）根据直角三角形中30°的直角边所对的直角边等于斜边的一半，即可求得BC的长，然后根据勾股定理即可求得AC的长；
（2）①根据三角板的度数即可求解；
②作DH⊥A′C于H，易证△CDH∽△CBA，根据相似三角形的对应边的比相等，即可求得CH的长，进而求得CC′；
③作DH⊥A′C′于H，AG⊥BC于G，可以证得Rt△AGD≌Rt△DHA，则BC∥AC′，利用平行线的性质即可求解；
（3）分0＜x≤3-

3

，3-

3

＜x≤

3

，

3

＜x≤2

3

，x＞2

3

四种情况即可求解．

解答：解：（1）∵直角△ABC中，∠BAC=30°，
∴BC=2AB=4．
∴AC=

BC2-AB2

=2

3

．
在等腰直角直角△A′DC′中，A′C′=2

3

，
∴A′D=

2

2

A′C′=

6

．

（2）①α=45°-30°=15°；
②作DH⊥A′C于H，则DH=

1

2

A′C′=C′H=

3

．
∵DH∥AB，
∴△CDH∽△CBA．
∴

DH

AB

=

CH

AC

，即

3

2

=

CH

2 3

，
∴CH=3．
∴CC′=CH-C′H=3-

3

，即m=CC′=3-

3

；
③作DH⊥A′C′于H，AG⊥BC于G．
由已知：DH=

3

，
AG×BC=AB×AC，
∴AG=

AG×BC

BC

=

2×2 3

4

=

3

，
∴AG=DH．
在Rt△AGD和Rt△DHA中：

AG=DH AD=DA

，
∴Rt△AGD≌Rt△DHA．
∴∠GDA=∠DAH=45°，
∴BC∥AC′，
∴β=∠BCA=30°；

（3）y=

-x2+(3- 3 )x-3+3 3 (0＜x≤3- 3 ) - 1 2 x2+3(3- 3 ＜x≤ 3 ) 1 2 (3＜x≤2 3 ) 0(x＞2 3 )

，

点评：本题考查了旋转的性质：旋转前后两图形全等，即对应相等相等，对应角相等；对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角．也考查了含30°的直角三角形三边的关系以及等腰直角三角形的性质．