Question

如图，已知△ABD，△BCE，△ACF都是等边三角形．
（1）求证：四边形ADEF是平行的四边形；
（2）△ABC满足什么条件时，四边形ADEF是菱形？说明理由．

Answer 1

（1）证明：∵△ABD和△BCE都是等边三角形，
∴∠DBE+∠EBA=∠ABC+∠EBA=60°，
∴∠DBE=∠ABC，在△ABC与△DBE中，，
∴△ABC≌△DBE（SAS）
∴AC=DE，∴△ACF是等边三角形，
∴AF=AC，∴DE=AF，同理可得：EF=AD，
∴四边形ADEF平行四边形；
（2）答：△ABC满足AB=AC≠BC时，四边形ADEF是菱形．
理由如下：若四边形DAFE是菱形，则AD=AF，
∵△ABD，△ACF都是等边三角形，
∴AD=AB，AF=AC，
∴AB=AC，但当AB=AC=BC时，△ABC是等边三角形，和△EBC就重合了，四边形ADEF不存在．
故当AB=AC≠BC时，四边形ADEF是菱形．