Question

如图，等腰三角形ABC中，AC=BC=6，AB=8．以BC为直径作⊙O交AB于点D，交AC于点G，DF⊥AC，垂足为F，交CB的延长线于点E．
（1）求证：直线EF是⊙O的切线；
（2）求sin∠E的值．
（3）求ED的长．

Answer 1

（1）证明：如图，连结OD，CD，则∠BDC=90°．
∴CD⊥AB．
∵AC=BC，∴AD=BD．
∴D是AB的中点．
∵O是BC的中点，
∴DO∥AC．
∵EF⊥AC于F．
∴EF⊥DO．
∴EF是⊙O的切线．

（ 2 ）解：连结BG，
∵BC是直径，∴∠BGC=90°=∠CFE．
∴BG∥EF．
∴sin∠E==．
设CG=x，则AG=6-x．
在Rt△BGA中，BG²=BC²-CG²．
在Rt△BGC中，BG²=BA²-AG²．
∴6²-x²=8²-（6-x）²．
解得：x=．即CG=．
在Rt△BGC中．
∴sin∠E===．

（3）解：由题意和（2）可得，OD=3
在Rt△ODE中
sin∠E==，
∴OE=27，
∴DE==12．
分析：（1）先连结OD，CD，由于AC=BC，得出D是AB的中点．由O是BC的中点，得出DO∥AC，可证EF是⊙O的切线；
（2）连接BG，可得BG∥EF，那么∠E=∠GBC，都表示出BG²，利用勾股定理求得CG的值，CG：BC即为sinE的值；
（3）利用（2）中所求得出sin∠E==，求出EO的长，再利用勾股定理求出DE的长．
点评：本题考查了切线的判定、等腰三角形的性质、平行线的判定和性质及勾股定理的应用；把所求角进行转移是基本思路，求得CG的长是解决本题的难点．