Question

已知直线l经过A(6，0)和B(0，12)两点，且与直线y＝x交于点C．

(1)求直线l的解析式；

(2)若点P(x，0)在线段OA上运动，过点P作l的平行线交直线y＝x于D，求△PCD的面积S与x的函数关系式；S有最大值吗？若有，求出当S最大时x的值；

(3)若点P(x，0)在x轴上运动，是否存在点P，使得△PCA成为等腰三角形？若存在，请写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)设直线L解析式为y＝kx＋b，将A(6，0)和B(0，12)代入，得： 　　， 　　解得：， 　　∴直线L解析式为y＝－2x＋12； 　　(2)解方程组：， 　　得：， 　　∴点C的坐标为(4，4)， 　　∴S△COP＝x×4＝2x； 　　∵PD∥L， 　　∴△OPD∽△OAC， 　　∴＝， 　　而＝， 　　∴＝， 　　即＝， 　　∴△PCD的面积S与x的函数关系式为： 　　S＝－x2＋2x， 　　∵S＝－(x－3)2＋3， 　　∴当x＝3时，S有最大值，最大值是3． 　　(3)存在点P，使得△PCA成为等腰三角形， 　　∵点C的坐标为(4，4)，A(6，0)， 　　根据P1C＝CA，P3A＝AC，P2A＝AC，P4C＝P4A时分别求出即可， 　　当P1C＝CA时，P1(2，0)， 　　当P2A＝AC时，P2(6－2，0)， 　　当P3A＝AC时，P3(6＋2，0)， 　　当P4C＝P4A时，P4(1，0)， 　　∴点P的坐标分别为： 　　P1(2，0)，P2(6－2，0)，P3(6＋2，0)，P4(1，0)．