在图1--图4中.菱形ABCD的边长为3.∠A=60°.点M是AD边上一点.且DM=$\frac{1}{3}$AD.点N是折线AB-BC上的一个动点．(1)如图1.当N在BC边上.且MN过对角线AC与BD的交点时.则线段AN的长度为$\sqrt{13}$．(2)当点N在AB边上时.将△AMN沿MN翻折得到△A′MN.如图2.①若点A′落在AB边上.则线段AN的长度为1,� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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17．在图1--图4中，菱形ABCD的边长为3，∠A=60°，点M是AD边上一点，且DM=$\frac{1}{3}$AD，点N是折线AB-BC上的一个动点．
（1）如图1，当N在BC边上，且MN过对角线AC与BD的交点时，则线段AN的长度为$\sqrt{13}$．
（2）当点N在AB边上时，将△AMN沿MN翻折得到△A′MN，如图2，
①若点A′落在AB边上，则线段AN的长度为1；
②当点A′落在对角线AC上时，如图3，求证：四边形AM A′N是菱形；
③当点A′落在对角线BD上时，如图4，求$\frac{A'B}{A'N}$的值．

分析（1）过点N作NG⊥AB于G，构造直角三角形，利用勾股定理解决问题；
（2）①利用线段中垂线的性质得到AN=A′N，再由三角函数求得；
②利用菱形的性质得到对角线平分每一组对角，得到∠DAC=∠CAB=30°，根据翻折的性质得到AC⊥MN，AM=A′M，AN=A′N，∠AMN=∠ANM=60°，AM=AN，AM=A′M=AN=A′N，四边形AM A′N是菱形；
③根据菱形的性质得到AB=AD，∠ADB=∠ABD=60°，求得∠NA′M=∠DMA′+∠ADB，证得A′M=AM=2，∠NA′M=∠A=60°，得到∠NA′B=∠DMA′，利用三角形相似得到结果．

解答解：（1）如图1，过点N作NG⊥AB于G，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AD∥BC，OD=OB，
∴$\frac{DM}{BN}$=$\frac{OD}{OB}$=1，
∴BN=DM=$\frac{1}{3}$AD=1，
∵∠DAB=60°，
∴∠NBG=60°
∴BG=$\frac{1}{2}$，GN=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴AN=$\sqrt{{AG}^{2}{+GN}^{2}}$=$\sqrt{{（\frac{7}{2}）}^{2}{+（\frac{\sqrt{3}}{2}）}^{2}}$=$\sqrt{13}$；
故答案为：$\sqrt{13}$；

（2）①当点A′落在AB边上，则MN为AA′的中垂线，
∵∠DAB=60°AM=2，
∴AN=$\frac{1}{2}$AM=1，
故答案为：1；
②在菱形ABCD中，AC平分∠DAB，
∵∠DAB=60°，
∴∠DAC=∠CAB=30°，
∵△AMN沿MN翻折得到△A′MN，
∴AC⊥MN，AM=A′M，AN=A′N，
∴∠AMN=∠ANM=60°，
∴AM=AN，
∴AM=A′M=AN=A′N，
∴四边形AM A′N是菱形；
③在菱形ABCD中，AB=AD，
∴∠ADB=∠ABD=60°，
∴∠BA′M=∠DMA′+∠ADB，
∴A′M=AM=2，∠NA′M=∠A=60°，
∴∠NA′B=∠DMA′，
∴△DMA′∽△BA′N，
∴$\frac{DM}{A′M}$=$\frac{A′B}{A′N}$，
∵MD=$\frac{1}{3}$AD=1，A′M=2，
∴$\frac{A′B}{A′N}$=$\frac{1}{2}$．

点评本题考查了菱形的判定和性质，翻折的性质，线段垂直平分线的性质，相似三角形的判定和性质，角平分线的性质，关键是利用翻折的性质得到线段、角相等、三角形相似．

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