Question

14．如图，E为等腰直角△ABC的边AB上的一点，要使AE=3，BE=1，P为AC上的动点，则PB+PE的最小值为5．

Answer 1

分析 作点B关于AC的对称点F，构建直角三角形，根据最短路径可知：此时PB+PE的值最小，接下来要求出这个最小值，即求EF的长即可，因此要先求AF的长，证明△ADF≌△CDB，可以解决这个问题，从而得出EF=5，则PB+PE的最小值为5．

解答 解：如图，过B作BD⊥AC，垂足为D，并截取DF=BD，连接EF交AC于P，连接PB、AF，则此时PB+PE的值最小，
∵△ABC是等腰直角三角形，
∴AB=CB，∠ABC=90°，AD=DC，
∴∠BAC=∠C=45°，
∵∠ADF=∠CDB，
∴△ADF≌△CDB，
∴AF=BC，∠FAD=∠C=45°，
∵AE=3，BE=1，
∴AB=BC=4，
∴AF=4，
∵∠BAF=∠BAC+∠FAD=45°+45°=90°，
∴由勾股定理得：EF=$\sqrt{A{F}^{2}+A{E}^{2}}$=$\sqrt{{4}^{2}+{3}^{2}}$=5，
∵AC是BF的垂直平分线，
∴BP=PF，
∴PB+PE=PF+PE=EF=5，
故答案为：5．

点评 本题考查了等腰直角三角形和轴对称的最短路径问题，要先找到符合条件的点P，可以通过轴对称来确定，即作出其中一点关于直线AC的对称点，对称点与另一点的连线与AC的交点就是所要找的点．再构造直角三角形利用勾股定理解决．