Question

已知，如图甲：△ABC是等腰直角三角形，∠ACB=90°，△ACD是等边三角形．

（1）填空：当△ACD绕点C顺时针旋转

 

时，旋转后的△ACD与△ABC构成一个轴对称图形（旋转的角度小于360°）；
（2）把图甲中△ACD绕点C顺时针旋转60°后得到如图乙，并连接EB，设线段CE与AB相交于点F．
①求证：BE=BF；
②若AC=2，求四边形ACBE的面积．

Answer 1

分析：（1）根据题意，画出符合轴对称的图形，再计算旋转角的度数；
（2）①利用等边△ACE，等腰直角△ABC，等腰△BCE中的角的度数关系，证明∠EFB=∠FEB，从而可证BE=BF；
②利用：四边形ACBE的面积=△ACE的面积+△BCE的面积，再分别求两个三角形的面积．

解答：
解：（1）如图甲，当△ACD绕点C顺时针旋转75°或255°时，旋转后的△ACD与△ABC构成一个轴对称图形；

（2）①证明：
∵BC=CE，∠BCE=90°-∠ACE=30°，
∴∠CEB=∠CBE=（180°-30°）÷2=75°，
∠EBF=∠CBE-∠CBF=75°-45°=30°，
∴∠EFB=180°-∠EBF-∠CEB=180°-30°-75°=75°，
即∠EFB=∠FEB，故BE=BF；

②如图乙，作△BCE边BC上的高EH，则EH=

1

2

CE=1，
所以，S_{四边形ACBE}=S_△ACE+S_△BCE=

1

2

×2×

3

+

1

2

×2×1=

3

+1．
故答案为：75°或255°．

点评：本题考查了运用旋转、轴对称的知识解题的能力，同时，根据旋转，得出特殊图形，进行相关的计算．