Question

如图（1），点A（2，6）、B（m，4）是反比例函数y=的图象上两点，AC⊥x轴，BD⊥y轴，垂足分别为C、D，AC、BD相交于点E，连接AB，CD．

（1）反比例函数的表达式为______；m的值等于______；
（2）求证：AB∥CD；
（3）如图（2），若点B（m，n）是图（1）中双曲线y=上的动点，且m＞2，其余条件不变．
①判断AB与CD的位置关系，并说明理由；
②在点B运动的过程中，连接AD、BC，若AD=BC，直接写出点B的坐标．

Answer 1

解：（1）∵点A（2，6）是反比例函数y=的图象上的点，
∴6=，
解得：k=12，
∴反比例函数的表达式为：y=，
∵B（m，4）是反比例函数y=的图象上的点，
∴4=，
解得：m=3；
故答案为：y=；3；

（2）证明：∵∠BDO=∠DOC=∠OCD=90°，
∴四边形DOCE是矩形，
∵点A的坐标为：（2，6），
∴AC=6，OC=DE=2，
∵点B的坐标为：（3，4），
∴BD=3，OD=EC=4，
∴BE=BD-DE=1，AE=AC-CE=2，
∴，
∵∠AEB=∠CED，
∴△AEB∽△CED，
∴∠EAB=∠ECD，
∴AB∥CD；

（3）①AB∥CD．
∵点B的坐标为：（m，n），点B在第一象限，BD⊥y轴于点D，
∴BD=m，CE=OD=n，
∵m＞2，
∴BE=m-2，AE=6-n，
∴，，
∵点B（m，n）在双曲线y=上，
∴n=，
∴=，
∴，
∵∠AEB=∠CED，
∴△AEB∽△CED，
∴∠EAB=∠ECD，
∴AB∥CD；

②当AD与BC不平行时，
此时四边形ABCD是等腰梯形，
∴AC=BD，则m=BD=6，
∴点B的坐标为：（6，2）；
当AD∥BC时，此时四边形ABCD是平行四边形，
∴AE=CE=3，
∴n=3，
∴点B的坐标为：（4，3）．
∴点B的坐标为：（6，2）或（4，3）．
分析：（1）由点A（2，6）、B（m，4）是反比例函数y=的图象上两点，首先将点A的坐标代入解析式，可求得反比例函数的表达式，再将B（m，4）代入，即可求得m的值；
（2）由点A与B的坐标，易证得，即可证得△AEB∽△CED，则可得∠EAB=∠ECD，继而证得AB∥CD；
（3）①由点B的坐标为：（m，n），点B在第一象限，BD⊥y轴于点D，易得，，又由点B（m，n）在双曲线y=上，可证得，即可证得△AEB∽△CED，则可得∠EAB=∠ECD，继而证得AB∥CD；
②分别从当AD与BC不平行时，此时四边形ABCD是等腰梯形，与当AD∥BC时，此时四边形ABCD是平行四边形，去分析求解即可求得答案．
点评：此题考查了待定系数法求反比例函数的解析式、点与函数的关系、相似三角形的判定与性质、平行四边形性质以及等腰梯形的性质等知识．此题综合性较强，难度较大，注意掌握方程思想、分类讨论思想与数形结合思想的应用．