Question

2．已知f（k）=$\frac{1}{（k+1）\sqrt{k}+k\sqrt{k+1}}$，求f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2011）的值．

Answer 1

分析 首先把f（k）=$\frac{1}{（k+1）\sqrt{k}+k\sqrt{k+1}}$化简可得$\frac{1}{\sqrt{k}}$-$\frac{1}{\sqrt{k+1}}$，然后再代入k=1，k=2，k=3，…k=2011，即可得答案．

解答 解：f（k）=$\frac{1}{（k+1）\sqrt{k}+k\sqrt{k+1}}$
=$\frac{（k+1）\sqrt{k}-k\sqrt{k+1}}{[（k+1）\sqrt{k}]^{2}-（k\sqrt{k+1}）^{2}}$
=$\frac{（k+1）\sqrt{k}-k\sqrt{k+1}}{k（k+1）^{2}-{k}^{2}（k+1）}$
=$\frac{（k+1）\sqrt{k}-k\sqrt{k+1}}{k（k+1）}$
=$\frac{1}{\sqrt{k}}$-$\frac{1}{\sqrt{k+1}}$，
f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2011）
=$\frac{1}{\sqrt{1}}$-$\frac{1}{\sqrt{1+1}}$+$\frac{1}{\sqrt{2}}$-$\frac{1}{\sqrt{3}}$+$\frac{1}{\sqrt{3}}$-$\frac{1}{\sqrt{4}}$+…+$\frac{1}{\sqrt{2011}}$-$\frac{1}{\sqrt{2012}}$
=1-$\frac{1}{\sqrt{2012}}$
=$\frac{2012-\sqrt{2012}}{2012}$
=$\frac{1006-\sqrt{503}}{1006}$．

点评 此题主要考查了二次根式的化简计算，关键是熟练掌握利用平方差进行分母有理化的方法．