Question

已知：如图，二次函数图象的顶点坐标为C（1，-2），直线y=kx+m的图象与该二次函数的图象交于A、B两点，其中A点坐标为（3，0），B点在y轴上．点P为线段AB上的一个动点（点P与点A、B不重合），过点P且垂直于x轴的直线与这个二次函数的图象交于点E．
（1）求这个二次函数的解析式；
（2）设点P的横坐标为x，求线段PE的长（用含x 的代数式表示）；
（3）点D为直线AB与这个二次函数图象对称轴的交点，若以点P、E、D为顶点的三角形与△AOB相似，请求出P点的坐标．

Answer 1

解：（1）设二次函数的解析式为y=a（x-1）²-2，
∵A（3，0）在抛物线上，
∴0=a（3-1）²-2
∴a=，
∴y=（x-1）²-2，

（2）抛物线与y轴交点B的坐标为（0，），
设直线AB的解析式为y=kx+m，
∴，
∴，
∴直线AB的解析式为y=x-．
∵P为线段AB上的一个动点，
∴P点坐标为（x，x-）．（0＜x＜3）
由题意可知PE∥y轴，∴E点坐标为（x，x²-x-），
∵0＜x＜3，
∴PE=（x-）-（x²-x-）=-x²+x，

（3）由题意可知D点横坐标为x=1，又D点在直线AB上，
∴D点坐标（1，-1）．
①当∠EDP=90°时，△AOB∽△EDP，
∴．
过点D作DQ⊥PE于Q，
∴x_Q=x_P=x，y_Q=-1，
∴△DQP∽△AOB∽△EDP，
∴，
又OA=3，OB=，AB=，
又DQ=x-1，
∴DP=（x-1），
∴，
解得：x=-1±（负值舍去）．
∴P（-1，）（如图中的P₁点）；
②当∠DEP=90°时，△AOB∽△DEP，
∴．
由（2）PE=-x²+x，DE=x-1，
∴，
解得：x=1±，（负值舍去）．
∴P（1+，-1）（如图中的P₂点）；
综上所述，P点坐标为（-1，）或（1+，-1）．
分析：（1）首先设二次函数的解析式为y=a（x-1）²-2，由A点坐标为（3，0），则可将A点的坐标代入函数解析式，利用待定系数法即可求得这个二次函数的解析式；
（2）首先利用待定系数法求得直线AB的解析式，然后由P在直线上，将x代入直线方程，即可求得P的纵坐标，又由E在抛物线上，则可求得E的纵坐标，它们的差即为PE的长；
（3）分别从当∠EDP=90°时，△AOB∽△EDP与当∠DEP=90°时，△AOB∽△DEP两种情况去分析，注意利用相似三角形的对应边成比例等性质，即可求得答案，注意不要漏解．
点评：此题考查了待定系数法求函数的解析式，线段的长度的求解方法，相似三角形的判定与性质等知识．此题综合性很强，解题的关键是方程思想，分类讨论思想与数形结合思想的应用．