Question

已知一次函数y=

1

2

x+1的图象与x轴交于点A．与y轴交于点B；二次函数y=

1

2

x2+bx+c图象与一次函数y=

1

2

x+1的图象交于B、C两点，与x轴交于D、E两点且D的坐标为（1，0）
（1）求二次函数的解析式；
（2）在x轴上是否存在点P，使得△PBC是直角三角形？若存在，求出所有的点P，若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）由已知，一次函数y=

1

2

x+1的图象与y轴交于点B，二次函数y=

1

2

x2+bx+c图象与一次函数y=

1

2

x+1的图象交于B、C两点，结合图象可得出B点的坐标为：（0，1），D的坐标为（1，0），可直接求出解析式．
（2）假设存在这样的一点，当顶点不同时，分三种情况讨论．

解答：解：（1）∵由题意知：当x=0时，y=1，∴B（0，1），
由D点的坐标为（1，0）当x=1时，y=0
∴

c=1 1 2 +b+c=0

解得

c=1 b=- 3 2

，
所以y=

1

2

x2-

3

2

x+1

（2）存在；设P（a，0），

①P为直角顶点时，如图，过C作CF⊥x轴于F，∵Rt△BOP∽Rt△PFC，
由题意得，AD=3，OD=1，易知，OB∥CF，
∴

BO

PF

=

OP

CF

．即

1

4-a

=

a

3

，
整理得：a²-4a+3=0，解得a=1或a=3，
此时所求P点坐标为（1，0）或（3，0）．
②若B为直角顶点，则有PB²+BC²=PC²
既有1²+a²+4²+2²=3²+（4-a）²
解得a=0.5此时所求P点坐标为（0.5，0）
③若C为直角顶点，则有PC²+BC²=PB²
既有3²+（4-a）²+4²+2²=1²+a²
解得a=5.5此时所求P点坐标为（5.5，0）

综上所述，满足条件的点P有四个，分别是（1，0）（3，0）（0.5，0）（5.5，0）．

点评：此题主要考查了（1）利用一次函数与y轴交于点B，D的坐标为（1，0），用两点即可求出二次函数的解析式，
（2）二次函数综合应用问题和直角三角形的综合应用．