如图所示.在梯形ABCD中.AD∥BC.AD=2.BC=4.点M是AD的中点.△MBC是等边三角形．(1)求证:梯形ABCD是等腰梯形,(2)点P是线段BC上任意一点.连接MP.作∠MPQ=60°.交MC于点Q.求MQ的最小值,中:①当MQ取最小值时.判断△PQC的形状.并说明理由,②点P在何处时.以点P.M和点A.B.C.D中的两个点为顶点的四边形是平行四边形?并指出符合条� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

如图所示，在梯形ABCD中，AD∥BC，AD=2，BC=4，点M是AD的中点，△MBC是等边三角形．
（1）求证：梯形ABCD是等腰梯形；
（2）点P是线段BC上任意一点，连接MP，作∠MPQ=60°，交MC于点Q，求MQ的最小值；
（3）在（2）中：
①当MQ取最小值时，判断△PQC的形状，并说明理由；
②点P在何处时，以点P、M和点A、B、C、D中的两个点为顶点的四边形是平行四边形？并指出符合条件的平行四边形的个数．

分析：（1）利用全等三角形的性质求出AB=DC；
（2）利用相似三角形的性质

，列出方程求出一个关于MQ值的函数求最小值即可．

解答：（1）证明：∵△MBC是等边三角形，
∴MB=MC，∠MBC=∠MCB=60°，
∵M是AD中点，∴AM=MD
∵AD∥BC，
∴∠AMB=∠MBC=60°，∠DMC=∠MCB=60°．
∴△AMB≌△DMC（2分）
∴AB=DC
∴梯形ABCD是等腰梯形．（3分）

（2）在等边三角形MBC中，MB=MC=BC=4，∠MBC=∠MCB=60°，∠MPQ=60°，
∴∠BMP+∠BPM=∠BPM+∠QPC=120°，
∴∠BMP=∠QPC
∴△BMP∽△CPQ，
∴

（5分）
令PC=x，MQ=y，则BP=4-x，QC=4-y
∴

4-y

4-x

∴y=

x²-x+4=

（x-2）²+3，即MQ的最小值为3（7分）

（3）①△PQC为直角三角形
由（2）知，当MQ取最小值时，x=PC=2．
∴P是BC的中点，MP⊥BC，而∠MPQ=60°，
∴∠CPQ=30°
∴∠PQC=90°（9分）
②当BP=1时，有BP平行且等于AM，BP平行且等于MD，则四边形ABPM四边形MBPD均为平行四边形．
当BP=3时，又PC平行且等于AM，PC平行且等于MD，
则四边形MPCD和四边形APCM均为平行四边形．
∴当BP=1或BP=3时，以点P、M和A、B、C、D中的两个点为顶点的四边形是平行四边形，
此时平行四边形有4个．（11分）

点评：此题主要考查三角形的全等相似性质以及平行四边形的判定，求函数最小值等知识点．

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