Question

（2006•惠安县质检）如图，点O是边为2的正方形ABCD的中心，点E从A点开始沿AD边运动，点F从D点开始沿DC边运动，并且AE=DF．
（1）求正方形ABCD的对角线AC的长；
（2）若点E、F同时运动，连接OE、OF，请你探究：四边形DEOF的面积S与正方形ABCD的面积关系，并求出四边形DEOF的面积S；
（3）在（2）的基础上，设AE=x，△EOF的面积为y，y与x之间的函数关系式，写出自变量x的取值范围，并利用图象说明当x在什么范围时，y≥．

Answer 1

【答案】分析：（1）可根据勾股定理得出AC的长．
（2）连接OD，先证△AEO≌△DFO，然后得出S_△OFD=S_△AEO，因此四边形DEOF的面积就转化为三角形AOD的面积．三角形AOD的面积是正方形的，由此可求出S的值．
（3）由（2）得出的四边形BEOF的面积，那么y=1-S_△DEF=然后用x表示出三角形DEF的面积，即可得出函数式．
解答：解：（1）在直角三角形ABC中
AC==2．

（2）连接OD，
∵OA=OD，AE=DF，∠ODC=∠OAD=45°
∴△AEO≌△DFO
∴S_△OFD=S_△AEO则S_{四边形DEOF}=S_△ADO
又S_△ADO=S_{四边形ABCD}，
∴S_{四边形DEOF}=S_{四边形ABCD}=1．

（3）由（2）得：y=1-S_△DEF=1-x（2-x）=x²-x+1
且0≤x≤2
配方得：y=（x-1）²+
画图：
令时，（x-1）²+=
∴x₁=，x₂=
由图象可知：当0≤x≤时，或≤x≤2时y≥．
点评：本题主要考查了正方形的性质和二次函数的综合应用，本题中利用全等三角形来转化面积是解题的关键．