Question

如图，菱形ABCD中，AB＝AC，点E、F分别为边AB、BC上的点，且AE＝BF，连接CE、AF交于点H，连接DH交AC于点O．

（1）△ABF≌△CAE；

（2）HD平分∠AHC吗？为什么？

 

Answer 1

【答案】

（1）根据菱形的性质可得AB＝BC，再结合AB＝AC可得△ABC为等边三角形，即可得到∠B＝∠CAB＝60°，再结合AE＝BF，AB＝AC即可证得结论；（2）平分

【解析】

试题分析：（1）根据菱形的性质可得AB＝BC，再结合AB＝AC可得△ABC为等边三角形，即可得到∠B＝∠CAB＝60°，再结合AE＝BF，AB＝AC即可证得结论；

（2）过点D作DG⊥CH于点G，作DK⊥FA交FA的延长线于点K，由△ABF≌△CAE．可得∠BAF＝∠CAE，即可得到∠CAE＋∠CAF＝60°，则∠AHC＝120°，由∠ADC＝60°，可得∠HAD＋∠HCD＝180°，从而可得∠HCD＝∠KAD，即可证得△ADK≌△CDG，再结合DG⊥CH，DK⊥FA即可得到结论．

（1）∵ABCD为菱形，

∴AB＝BC．

∵AB＝AC，

∴△ABC为等边三角形．

∴∠B＝∠CAB＝60°．

又∵AE＝BF，AB＝AC，

∴△ABF≌△CAE；

（2）过点D作DG⊥CH于点G，作DK⊥FA交FA的延长线于点K，

∵△ABF≌△CAE．

∴∠BAF＝∠CAE，

∵∠BAF＋∠CAF＝60°，

∴∠CAE＋∠CAF＝60°，

∴∠AHC＝120°，

∵∠ADC＝60°，

∴∠HAD＋∠HCD＝180°，

∵∠HAD＋∠KAD＝180°，

∴∠HCD＝∠KAD，

∵AD＝CD，∠DGC＝∠AKD＝90°，

∴△ADK≌△CDG，

∴DK＝DG，

∵DG⊥CH，DK⊥FA，

∴HD平分∠AHC．

考点：菱形的性质，等边三角形的判定，全等三角形的判定和性质，角平分线的判定

点评：此类问题知识点较多，综合性较强，是中考常见题，一般难度不大.