Question

（2012•眉山）已知：如图，在直角坐标系中，有菱形OABC，A点的坐标为（10，0），对角线OB、AC相交于D点，双曲线y=

k

x

（x＞0）经过D点，交BC的延长线于E点，且OB•AC=160，有下列四个结论：
①双曲线的解析式为y=

20

x

（x＞0）；
②E点的坐标是（4，8）；
③sin∠COA=

4

5

；
④AC+OB=12

5

，其中正确的结论有（　　）

A．1个

B．2个

C．3个

D．4个

Answer 1

分析：过点C作CF⊥x轴于点F，由OB•AC=160可求出菱形的面积，由A点的坐标为（10，0）可求出CF的长，由勾股定理可求出OF的长，故可得出C点坐标，对角线OB、AC相交于D点可求出D点坐标，用待定系数法可求出双曲线y=

k

x

（x＞0）的解析式，由反比例函数的解析式与直线BC的解析式联立即可求出E点坐标；由sin∠COA=

CF

OC

可求出∠COA的正弦值；根据A、C两点的坐标可求出AC的长，由OB•AC=160即可求出OB的长．

解答：解：过点C作CF⊥x轴于点F，
∵OB•AC=160，A点的坐标为（10，0），
∴OA•CF=

1

2

OB•AC=

1

2

×160=80，菱形OABC的边长为10，
∴CF=

80

OA

=

80

10

=8，
在Rt△OCF中，
∵OC=10，CF=8，
∴OF=

OC2-CF2

=

102-82

=6，
∴C（6，8），
∵点D时线段AC的中点，
∴D点坐标为（

10+6

2

，

8

2

），即（8，4），
∵双曲线y=

k

x

（x＞0）经过D点，
∴4=

k

8

，即k=32，
∴双曲线的解析式为：y=

32

x

（x＞0），故①错误；
∵CF=8，
∴直线CB的解析式为y=8，
∴

y= 32 x y=8

，解得

x=4 y=8

，
∴E点坐标为（4，8），故②正确；
∵CF=8，OC=10，
∴sin∠COA=

CF

OC

=

8

10

=

4

5

，故③正确；
∵A（10，0），C（6，8），
∴AC=

(10-6)2+(0-8)2

=4

5

，
∵OB•AC=160，
∴OB=

160

AC

=

160

4 5

=8

5

，
∴AC+OB=4

5

+8

5

=12

5

，故④正确．
故选C．

点评：本题考查的是反比例函数综合题，涉及到菱形的性质及反比例函数的性质、锐角三角函数的定义等相关知识，难度适中．