Question

已知a，b是正实数，

a+b

2

≥

ab

是恒成立的．
（1）由（

a

-

b

）²≥0恒成立，说明

a+b

2

≥

ab

是恒成立；
（2）如图，在⊙O中，AB是直径，C是圆上异于点A和点B的点，过点C作CD⊥AB，垂足为点D，连接AC，BC，设AD=a，BD=b，根据图说明

a+b

2

≥

ab

是恒成立．

Answer 1

分析：（1）由（

a

-

b

）²≥0，利用完全平方公式，即可证得

a+b

2

≥

ab

是恒成立；
（2）首先证得Rt△ACD∽Rt△CBD，由相似三角形的对应边成比例，可求得CD的值，又由OC是半径，可求得OC=

a+b

2

，然后由点到线的距离垂线段最短，即可证得

a+b

2

≥

ab

是恒成立．

解答：解：（1）∵（

a

-

b

）²≥0，
∴a-2

ab

+b≥0，
∴a+b≥2

ab

，
∴

a+b

2

≥

ab

；

（2）如图，连接OC，
∵AB是直径，
∴∠ACB=90°，
又∵CD⊥AB，
∴∠ADC=∠ACB=90°，
∴∠A+∠B=∠A+∠ACD=90°，
∴∠ACD=∠B，
∴Rt△ACD∽Rt△CBD，
∴

CD

AD

=

BD

CD

，
∴CD²=AD•BD=ab，
∴PC=

ab

，
又∵CO=

a+b

2

，
∵CD≥OC，
∴

a+b

2

≥

ab

．

点评：此题考查了圆的综合题，涉及了相似三角形的判定与性质、圆周角定理、几何不等式的应用与证明以及完全平方公式等知识．此题综合性较强，难度较大，注意数形结合思想的应用，注意完全平方式的非负性的应用．