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如图,半圆O的直径为AB,D是半圆上的一个动点(不与A、B重合),连接BD并延长至C,使CD=BD,过点D作半圆O的切线交AC于E点.
(1)猜想DE与AC的位置关系,并说明理由;
(2)当AB=6,BD=2时,求DE的长.

【答案】分析:(1)连接OD,由切线的性质知,OD⊥DE;△ABC中,O、D分别为AB、BC的中点,即OD是△ABC的中位线,因此OD∥AC,由此可得DE⊥AC;
(2)连接AD,由圆周角定理知AD⊥BC,即AD是BC的垂直平分线;因此△ABC是等腰三角形,∠B=∠C,易证得Rt△CED∽Rt△BDA,可得DE:CD=AD:AB;可在Rt△ABD中,用勾股定理求得AD的长,进而可根据上面的比例关系求出DE的长.
解答:解:(1)DE⊥AC,
理由:连接OD,
∵DE是⊙O的切线,
∴OD⊥DE.
∵BD=CD,OA=OB,
∴DE⊥AC.

(2)连接AD,
∵AB是半圆O的直径,
∴∠ADB=90°又BD=DC=2.
∴AD是BC的垂直平分线.
∴AB=AC.
∴∠ABD=∠ACD.
又∵DE⊥AC,
∴∠CED=90°.
∴∠ADB=∠CED.
∴Rt△ABD∽Rt△DCE.
∴DE•AB=AD•DC.
在Rt△ABD中,
AB=6,BD=2,
∴AD==4
∴DE==
点评:本题考查的知识点有:切线的性质、三角形中位线的性质、圆周角定理、相似三角形的判定和性质、勾股定理等.
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