Question

在⊙O中，AB为直径，PC为弦，且PA=PC
（1）如图1，求证：OP∥BC
（2）如图2，DE切⊙O于点C，DE∥AB，求tan∠A的值．

Answer 1

证明：（1）连接OC．
∵PA=PC
∴弧PA=弧PC，
∴∠AOP=∠COP，
∵OA=OP，
∴∠A=∠APO，
同理，∠PCO=∠CPO，
∴∠A=∠CPO，
∵∠A=∠BCP，
∴∠BCP=∠CPO，
∴BC∥OP；

（2）连接OP，过P作PN⊥AB于点N．
∵DE为⊙O的切线，
∴OC⊥DE，
∴∠DCO=90°，
∵AB∥DE，
∴∠AOC+∠DCO=180°，
∴∠AOC=90°，
∴∠AOP=∠COP=135°．
∵∠AOP+∠BOP=180°，
∴∠BOP=45°，
∵PN⊥AB，
∴ON=PN=OP，
∵AO=PO，
∴AN=（1+）OP，
∴tanA===-1．
分析：（1）根据弧、弦、圆圆周角的关系以及等边对等角可以证得∠BCP=∠CPO，利用内错角相等，两直线平行即可证得；
（2）根据平行线的性质可以求得∠AOC的度数，然后利用圆周角定理即可求得∠PON=45度，则△OPN是等腰直角三角形，则可以利用圆的半径表示出PN与ON的长，然后在直角△APN中，根据正切函数的定义即可求解．
点评：本题考查了圆周角定理，三角函数的定义，正确作出辅助线，把求三角函数的问题转化成直角三角形的边的比是关键．