Question

15．定义：数学活动课上，兵兵老师给出如下定义：有一组对边相等而另一组对边不相等的凸四边形叫做对等四边形．

理解：
（1）如图1，已知A、B、C在格点（小正方形的顶点）上，请用两种不同的方法再画出一个格点D，使四边形ABCD为对等四边形；
（2）如图2，在圆内接四边形ABCD中，AB是⊙O的直径，AC=BD．试说明：四边形ABCD是对等四边形；
（3）如图3，点D，B分别在x轴和y轴上，且D（8，0），cos∠BDO=$\frac{4}{5}$，点A是边BD上的一点，且AD：AB=4：试在x轴上找一点C，使四边形ABOC为对等四边形，请直接写出所有满足条件的C点坐标．

Answer 1

分析 （1）根据对等四边形的定义画出图形即可；
（2）根据圆周角定理得到∠ADB=90°，∠ACD=90°，根据直角三角形全等的判定定理证明Rt△ADB≌Rt△BCA，根据全等三角形的性质证明即可；
（3）分OC=AB、AC=OB两种情况，根据平行线分线段成比例定理计算即可．

解答 解：（1）如图1：四边形ABCD为对等四边形；
（2）证明：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB=90°，∠ACD=90°，
在Rt△ADB和Rt△BCA中，
$\left\{\begin{array}{l}{BD=AC}\\{BA=AB}\end{array}\right.$，
∴Rt△ADB≌Rt△BCA，
∴AD=BC，
∴四边形ABCD是对等四边形；
（3）∵D（8，0），
∴OD=8，
cos∠BDO=$\frac{4}{5}$，即$\frac{OD}{BD}$=$\frac{4}{5}$，
∴BD=10，
由勾股定理得，OB=$\sqrt{B{D}^{2}-O{D}^{2}}$=6，
∵AD：AB=4，BD=10，
∴AB=2，AD=8，
如图3，当OC=AB时，C点坐标为（2，0），
如图4，当AC=OB时，AC=6，
作AE⊥OD于E，
则AE∥OB，
∴$\frac{AE}{OB}$=$\frac{DE}{DO}$=$\frac{DA}{DB}$，即$\frac{AE}{6}$=$\frac{DE}{8}$=$\frac{8}{10}$，
解得AE=$\frac{24}{5}$，DE=$\frac{32}{5}$，
∴EC=$\sqrt{A{C}^{2}-A{E}^{2}}$=$\frac{18}{5}$，
OE=OD-DE=$\frac{8}{5}$，
则OC=OE+EC=$\frac{26}{5}$，
∴C点坐标为（$\frac{26}{5}$，0），
∴四边形ABOC为对等四边形时，C点坐标为：（2，0）或（$\frac{26}{5}$，0）．

点评 本题考查的是圆周角定理、勾股定理的应用以及平行线分线段成比例定理，正确理解对等四边形的定义、正确运用相关的定理和性质是解题的关键．