Question

4．某商家独家销售具有地方特色的某种商品，每件进价为40元，经过市场调查，一周的销售量y件与销售单价x（x≥50）元/件的关系如下表：

销售单价x（元/件）	…	55	60	70	75	…
一周的销售量y（件）	…	450	400	300	250	…

（1）试销过程发现，一周销量y（万件）与销售单价x（元/件）之间关系可以近似地看作一次函数，直接写出y与x的函数关系式：y=-10x+1000（x≥50）
（2）设一周的销售利润为S元，请求出S与x的函数关系式，并确定当销售单价在什么范围内变化时，一周的销售利润不低于8000元？
（3）在雅安地震发生时，商家已将商品一周的销售利润全部寄往灾区，已知商家购进该商品的货款不超过10000元，请你分析该商家当时最大捐款数额是多少元？

Answer 1

分析 （1）设y=kx+b，把点的坐标代入解析式，求出k、b的值，即可得出函数解析式；
（2）根据利润=（售价-进价）×销售量，列出函数关系式，继再利用销售利润为8000，进而得出销售单价的范围；
（3）根据购进该商品的贷款不超过10000元，求出进货量，然后求最大销售额即可．

解答 解：（1）设y=kx+b，
由题意得，$\left\{\begin{array}{l}{55k+b=450}\\{60k+b=400}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=-10}\\{b=1000}\end{array}\right.$，
则函数关系式为：y=-10x+1000，（x≥50）
故答案为：y=-10x+1000（x≥50）；

（2）由题意得，S=（x-40）y=（x-40）（-10x+1000）
=-10x²+1400x-40000
=-10（x-70）²+9000，
当S=8000时，
8000=-10（x-70）²+9000，
解得：x₁=60，x₂=80，
∵-10＜0，
∴函数图象开口向下，对称轴为直线x=70，
∴当60＜x＜80时，销售利润一周的销售利润不低于8000元；

（3）∵由40（-10x+1000）≤10000
解得：x≥75，
又由于最大进货量为：y=10000÷40=250，
由题意可知，当x=75时，可以销售250件商品，结合图形，故此时利润最大．
S=250×（75-40）=8750（元），
故该商家在10000元内的进货条件下，最大捐款为8750元．

点评 本题考查了二次函数的应用，难度一般，解答本题的关键是将实际问题转化为求函数最值问题，从而来解决实际问题．