练习册

  • 练习册
  • 试题
    精英家教网 > 初中数学 > 题目详情
    15．如图，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的图象过点C（0，1），顶点为Q（2，3），点D在x轴正半轴上，线段OD=OC．

    （1）求抛物线的解析式；
    （2）抛物线上是否存在点M，使得△CDM是以CD为直角边的直角三角形？若存在，请求出M点的坐标；若不存在，请说明理由．
    （3）将直线CD绕点C逆时针方向旋转45°所得直线与抛物线相交于另一点E，连接QE．若点P是线段QE上的动点，点F是线段OD上的动点，问：在P点和F点的移动过程中，△PCF的周长是否存在最小值？若存在，求出这个最小值，若不存在，请说明理由．

    分析 （1）设抛物线的解析式为y=a（x-2）2+3．将C（0，1）代入求得a的值即可；
    （2）①C为直角顶点时，作CM⊥CD，CM交抛物线与点M，先求得直线CD的解析式，然后再求得直线CM的解析式，然后求得直线CM与抛物线的交点坐标即可；②D为直角顶点时，作DM⊥CD，先求得直线MD的解析式，然后将直线CM与抛物线的交点坐标即可；
    （3）存在．作点C关于直线QE的对称点C′，作点C关于x轴的对称点C″，连接C′C″，交OD于点F，交QE于点P，则△PCF即为符合题意的周长最小的三角形，由轴对称的性质可知，△PCF的周长等于线段C′C″的长度，然后过点C′作C′N⊥y轴，然后依据勾股定理可求得C′C″的长即可．

    解答 解：（1）设抛物线的解析式为y=a（x-2）2+3．
    将C（0，1）代入得：4a+3=1，解得：a=-$\frac{1}{2}$．
    ∴y=-$\frac{1}{2}$（x-2）2+3=-$\frac{1}{2}$x2+2x+1．

    （2）①C为直角顶点时
    如图①：作CM⊥CD，CM交抛物线与点M．

    设直线CD为y=kx+1．
    ∵OD=OC
    ∴OD=1
    ∴D（1，0）
    把D（1，0）代入y=kx+1得：k=-1，
    ∴y=-x+1．
    ∴直线CM的解析式为：y=x+1，则：$\left\{\begin{array}{l}{y=x+1}\\{y=-\frac{1}{2}{x}^{2}+2x+1}\end{array}\right.$，解之得：M（2，3 ），恰好与Q点重合．
    ②D为直角顶点时：如图②所示：

    设直线MD的解析式为y=x+b，将点D的坐标代入得：1+b=0，解得b=-1，
    ∴MD的解析式为y=x-1．
    将y=x-1与y=-$\frac{1}{2}$x2+2x+1联立解得：x=$\sqrt{5}$+1或x=$\sqrt{5}$-1．
    则M为（$\sqrt{5}$+1，$\sqrt{5}$）或（1-$\sqrt{5}$，-$\sqrt{5}$）．
    综上所述，符合题意的M有三点，分别是（2，3 （$\sqrt{5}$+1，$\sqrt{5}$）或（1-$\sqrt{5}$，-$\sqrt{5}$）．

    （3）存在．
    如图③所示，作点C关于直线QE的对称点C′，作点C关于x轴的对称点C″，连接C′C″，交OD于点F，交QE于点P，则△PCF即为符合题意的周长最小的三角形，由轴对称的性质可知，△PCF的周长等于线段C′C″的长度．

    在线段OD上取异于点F的任一点F′，在线段QE上取异于点P的任一点P′，连接F′C″，F′P′，P′C′．
    由轴对称的性质可知，△P′CF′的周长=F′C″+F′P′+P′C′．
    ∵F′C″+F′P′+P′C′是点C′，C″之间的折线段，
    ∴F′C″+F′P′+P′C′＞C′C″，即△P′CF′的周长大于△PCE的周长．）
    如答图④所示，连接C′E．

    ∵C，C′关于直线QE对称，△QCE为等腰直角三角形，
    ∴△QC′E为等腰直角三角形，
    ∴△CEC′为等腰直角三角形，
    ∴点C′的坐标为（4，5）．
    ∵C，C″关于x轴对称，∴点C″的坐标为（0，-1）．
    过点C′作C′N⊥y轴于点N，则NC′=4，NC″=4+1+1=6，
    在Rt△C′NC″中，由勾股定理得：C′C″=$\sqrt{C′{N}^{2}+C″{N}^{2}}$=$\sqrt{{4}^{2}+{6}^{2}}$=2$\sqrt{13}$．
    综上所述，在P点和F点移动过程中，△PCF的周长存在最小值，最小值为2$\sqrt{13}$．

    点评 本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了待定系数法求函数的解析式，掌握相互垂直的两条直线的一次项系数乘积为-1是解答问题（2）的关键，利用轴对称的性质将三角形的周长转化为线段C′C″的长是解答问题（3）的关键．

    练习册系列答案
    年级 高中课程 年级 初中课程
    高一 高一免费课程推荐！ 初一 初一免费课程推荐！
    高二 高二免费课程推荐！ 初二 初二免费课程推荐！
    高三 高三免费课程推荐！ 初三 初三免费课程推荐！
    相关习题

    科目：初中数学 来源： 题型：解答题

    5．已知，如图，在正方形ABCD中，O是对角线的交点，AF平分∠BAC，DH⊥AF于点H，交AC于点G，DH延长线交AB于点E．
    求证：BE=2OG．

    查看答案和解析>>

    科目：初中数学 来源： 题型：选择题

    6．如图，⊙O的直径AB=2，C是弧AB的中点，AE，BE分别平分∠BAC和∠ABC，以E为圆心，AE为半径作扇形EAB，π取3，则阴影部分的面积为（　　）
    A．$\frac{13}{4}$$\sqrt{2}$-4B．7$\sqrt{2}$-4C．6-$\frac{5}{4}$$\sqrt{2}$D．$\frac{{3\sqrt{2}-5}}{2}$

    查看答案和解析>>

    科目：初中数学 来源： 题型：选择题

    3．已知函数y=kx+b（k≠0）的图象如图，则y=-2kx+b（k≠0）的图象可能是（　　）
    A．B．C．D．

    查看答案和解析>>

    科目：初中数学 来源： 题型：解答题

    10．若代数式$\frac{2x-3}{4}$与$\frac{x-4}{3}$的差不小于1，试求x的取值范围．

    查看答案和解析>>

    科目：初中数学 来源： 题型：解答题

    20．如图，在直角坐标系中，点A是反比例函数y1=$\frac{k}{x}$图象上一点，AB⊥x轴的正半轴于点B，点C是OB的中点，一次函数y2=ax+b的图象经过A、C两点，交y轴于点D（0，-2），△AOB的面积为4
    （1）求反比例函数和一次函数的解析式；
    （2）若x轴上存在点M（不与点C重合），使得△AOC和△AOM相似，求点M的坐标．

    查看答案和解析>>

    科目：初中数学 来源： 题型：解答题

    7．分解因式：（3a-b）（a+b）-ab-b2．

    查看答案和解析>>

    科目：初中数学 来源： 题型：解答题

    4．在菱形ABCD中，∠BAD=60°．
    （1）如图1，点E为线段AB的中点，连接DE，CE，若AB=4，求线段EC的长；
    （2）如图2，M为线段AC上一点（M不与A，C重合），以AM为边，构造如图所示等边三角形AMN，线段MN与AD交于点G，连接NC，DM，Q为线段NC的中点，连接DQ，MQ，求证：DM=2DQ．

    查看答案和解析>>

    科目：初中数学 来源： 题型：解答题

    14．如图，四边形ABCD中，∠ADC的角平分线DE与∠BCD的角平分线CA相交于E点，DE交BC于点F，连结AF，已知∠ACD=32°，∠CDE=58°．
    （1）求证：AD∥BC；
    （2）当AD=5，DE=3时，求CE的长度．

    查看答案和解析>>

    同步练习册答案