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    已知抛物线抛物线（n为正整数，且0<a1<a2<…<an）与x轴的交点为An-1（bn-1,0）和An(bn，0)，当n=1时，第1条抛物线与x轴的交点为A0（0，0）和A1（b1，0），其他依此类推．

    （1）求a1,b1的值及抛物线y2的解析式；

    （2）抛物线y3的顶点坐标为（        ，        ）；

    依此类推第n条抛物线yn的顶点坐标为（        ，        ）;

    所有抛物线的顶点坐标满足的函数关系是        ；

    （3）探究下列结论：

    ①若用An-1An表示第n条抛物线被x轴截得得线段长，直接写出A0A1的值，并求出An-1An；

    ②是否存在经过点A（2，0）的直线和所有抛物线都相交，且被每一条抛物线截得得线段的长度都相等？若存在，直接写出直线的表达式；若不存在，请说明理由．

     

    【答案】

    解：（1）∵与x轴交于点A0（0，0），∴―a12+ a1=0，∴a1=0或1。

    由已知可知a1>0，∴a1=1。

    ∴。

    令y1=0代入得：=0，∴x1=0，x2=2。

    ∴y1与x轴交于A0（0，0），A1（2，0）。∴b1=2。

    又∵抛物线与x轴交于点A1（2，0），

    ∴―(2―a2)2+ a2=0，∴a2=1或4，∵a2> a1，∴a2=1（舍去）。

    ∴取a2=4，抛物线。

    （2）（9，9）； （n2，n2）；y=x。

    （3）①∵A0（0，0），A1（2，0），∴A0 A1=2。

    又∵，

    令yn=0，得，解得：x1=n2+n，x2=n2－n。

    ∴A n－1(n2－n，0)，A n(n2+n，0)，即A n－1 A n=( n2+n)－( n2－n)=2 n。

    ②存在。是平行于直线y=x且过A1（2，0）的直线，其表达式为y=x－2。

    【解析】

    试题分析：（1）将A0坐标代入y1的解析式可求得a1的值；a1的值知道了y1的解析式也就确定了，已知抛物线就可求出b1的值，又把（b1，0）代入y2，可求出a2 ，即得y2的解析式。

    （2）用同样的方法可求得a3 、a4 、a5 ……由此得到规律：

    ∵抛物线令y2=0代入得：，∴x1=2，x2=6。

    ∴y2与x轴交于点A1（2，0），A2（6，0）。

    又∵抛物线与x轴交于A2（6，0），∴―(6―a3)2+a3=0。∴a3=4或9。

    ∵a3> a3，∴a3=4（舍去），即a3=9。∴抛物线y3的顶点坐标为（9，9）。

    由抛物线y1的顶点坐标为（1，1），y2的顶点坐标为（4，4），y3的顶点坐标为（9，9），依次类推抛物线yn的顶点坐标为（n2，n2）。

    ∵所有抛物线的顶点的横坐标等于纵坐标，

    ∴顶点坐标满足的函数关系式是：y= x。

    （3）①由（2）可知A0A1=2，A1A2=4，A2A3=6，得A n－1 A n=2 n。

    ②猜测这是与直线y=x平行且过A（2，0）的一条直线，即y=x－2。

    可用特殊值法验证：取得和，得所截得的线段长度为，换一组抛物线试试，求出的值也为。

     

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    科目：初中数学 来源： 题型：

    精英家教网已知抛物线y=-x2+mx-n的对称轴为x=-2，且与x轴只有一个交点．
    （1）求m，n的值；
    （2）把抛物线沿x轴翻折，再向右平移2个单位，向下平移1个单位，得到新的抛物线C，求新抛物线C的解析式；
    （3）已知P是y轴上的一个动点，定点B的坐标为（0，1），问：在抛物线C上是否存在点D，使△BPD为等边三角形？若存在，请求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．

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    科目：初中数学 来源： 题型：

    如图，已知直线y=-
    1
    2
    x+1    分别交y轴、x轴于A，B两点，以线段AB为边向上作正方形ABCD过点A，D，C的抛物线y=ax2+bx+1与直线的另一交点为点E
    （1）点C的坐标为
     
    ；点D的坐标为
     
    ．并求出抛物线的解析式；
    （2）若正方形以每秒
    		5
    个单位长度的速度沿射线AB下滑，直至顶点D落在x轴上时停止．设正方形落在x轴下方部分的面积为S，求S关于滑行时间t的函数关系式，并写出相应自变量t的取值范围；
    （3）在（2）的条件下，抛物线与正方形一起平移，同时停止，求抛物线上C，E两点间的抛物线弧所扫过的面积．
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    科目：初中数学 来源： 题型：

    已知抛物线y=ax2+bx+c过点C（0，3），顶点P（2，-1），直线x=m（m＞3）交x轴于点D，抛物线交x轴于A、B两点（如图10）．
    （1）①求得抛物线的函数解析式为
    y=x2-4x+3
    y=x2-4x+3
    ；
    ②A、B两点的坐标是A（
    （1，0）
    （1，0）
    ），B（
    （3，0）
    （3，0）
    ）；
    ③该抛物线关于原点成中心对称的抛物线的函数解析式是
    y=-x2-4x-3
    y=-x2-4x-3
    ；
    ④将已知抛物线平移，使顶点落在原点，则平移后得到的新抛物线的函数解析式是
    y=x2
    y=x2
    ．
    （2）若直线x=m（m＞3）上有一点E（E在第一象限），使得以B、E、D为顶点的三角形和以A、C、O为顶点的三角形相似，求E点的坐标（用m的代数式表示）
    （3）在（2）成立的条件下，抛物线上是否存在一点F，使得四边形ABEF为平行四边形，若存在，求出m的值及平行四边形ABEF的面积；若不存在，请说明理由．

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    科目：初中数学 来源： 题型：

    （2011•自贡）已知抛物线y=ax2+2x+3（a≠0）有如下两个特点：①无论实数a怎样变化，其顶点都在某一条直线l上；②若把顶点的横坐标减少
    1
    a
    ，纵坐标增大
    1
    a
    分别作为点A的横、纵坐标；把顶点的横坐标增加
    1
    a
    ，纵坐标增加
    1
    a
    分别作为点B的横、纵坐标，则A，B两点也在抛物线y=ax2+2x+3（a≠0）上．
    （1）求出当实数a变化时，抛物线y=ax2+2x+3（a≠0）的顶点所在直线l的解析式；
    （2）请找出在直线l上但不是该抛物线顶点的所有点，并说明理由；
    （3）你能根据特点②的启示，对一般二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）提出一个猜想吗？请用数学语言把你的猜想表达出来，并给予证明．

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    科目：初中数学 来源： 题型：

    已知抛物线l：y=ax2+bx+c（其中a、b、c都不等于0），它的顶点P的坐标是（-
    b
    2a
    ，
    4ac-b2
    4a
    ），与y轴的交点是M（0，c）．我们称以M为顶点，对称轴是y轴且过点P的抛物线为抛物线l的伴随抛物线，直线PM为l的伴随直线．
    （1）请直接写出抛物线y=2x2-4x+1的伴随抛物线和伴随直线的解析式：伴随抛物线的解析式
    y=-2x2+1
    y=-2x2+1
    ，伴随直线的解析式
    y=-2x+1
    y=-2x+1
    ；
    （2）若一条抛物线的伴随抛物线和伴随直线分别是y=-x2-3和y=-x-3，则这条抛物线的解析式是
    y=x2-2x-3
    y=x2-2x-3
    ；
    （3）求抛物线l：y=ax2+bx+c（其中a、b、c都不等于0）的伴随抛物线和伴随直线的解析式．

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