Question

11．如图，四边形ABCD中，AC，BD相交于点O，O是AC的中点，AD∥BC，AC=8，BD=6．
（1）求证：四边形ABCD是平行四边形；
（2）若AC⊥BD，求?ABCD的面积．

Answer 1

分析 （1）由已知条件易证△AOD≌△COB，由此可得OD=OB，进而可证明四边形ABCD是平行四边形；
（2）由（1）和已知条件可证明四边形ABCD是菱形，由菱形的面积公式即可得解．

解答 解：
（1）∵O是AC的中点，
∴OA=OC，
∵AD∥BC，
∴∠ADO=∠CBO，
在△AOD和△COB中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠ADO=∠CBO}\\{∠AOD=∠COB}\\{OA=OC}\end{array}\right.$，
∴△AOD≌△COB，
∴OD=OB，
∴四边形ABCD是平行四边形；
（2）∵四边形ABCD是平行四边形，AC⊥BD，
∴四边形ABCD是菱形，
∴?ABCD的面积=$\frac{1}{2}$AC•BD=24．

点评 此题主要考查平行四边形的判定和菱形的判断和性质．熟练掌握各种特殊四边形的性质定理和判定定理是解题的关键．