Question

已知：如图，一次函数y=kx+b的图象与反比例函数y=-的图象交于点A（-1，m），与x轴正半轴交于点B，AP⊥x轴于点P，且S_△ABP=2．
（1）求点B的坐标及一次函数的解析式；
（2）设点C是x轴上的一个点，如果∠ACO=∠BAO，求出点C的坐标．

Answer 1

解：（1）把A（-1，m）代入y=-，
得m=-=2，
即点A的坐标为：（-1，2），
又∵S_△ABP=PB•AP，
∴2=PB×2，
∴PB=2，
∴点B（1，0）；
设直线AB的解析式为y=kx+b（k≠0），
把点A、B的坐标代入得：，
解得：，
故直线AB的解析式为y=-x+1；

（2）∵点A（-1，2）、B（1，0），
∴OA=，AB=2．如图：
当点C在x轴的正半轴上时，
∵∠ACO=∠BAO，∠AOC=∠BOA，
∴△OAC∽△OBA，
∴=，
∴=，
∴OC=5，
即点C₁（5，0）；
当点C在x轴的负半轴上时，
∵∠ACO=∠BAO，∠ABC=∠OBA，
∴△ABO∽△CBA，
∴=，
∴=，
∴CB=8，
即点C₂（-7，0）．
综上，点C的坐标为：（5，0），（-7，0）．
分析：（1）首先把A（-1，m）代入y=-，即可求得m的值，又由S_△ABP=2，则可求得点B的坐标，然后利用待定系数法即可求得此一次函数的解析式；
（2）由（1）可求得OA=，AB=2，分别从当点C在x轴的正半轴上与当点C在x轴的负半轴上时去分析，利用相似三角形的对应边成比例，即可求得答案．
点评：此题考查了待定系数法求一次函数的解析式、相似三角形的判定与性质、反比例函数与一次函数的交点问题以及三角形面积问题．此题难度较大，注意掌握方程思想、分类讨论思想与数形结合思想的应用．