Question

（2013•道外区三模）如图，点l是△ABC的内心，线段AI的延长线交△ABC外切圆于点D，交BC边于点E．
（1）求证：lD=BD．
（2）若

BE

AB

=

2

3

，lE=2，求AD的长．

Answer 1

分析：（1）根据三角形内心得出∠BAD=∠CAD，∠ABI=∠CBI，推出弧BD=弧CD，得出∠DBC=∠CAD，根据三角形外角性质得出∠DBI=∠DIB，根据等腰三角形判定推出即可．
（2）证△BDE∽△ADB，得出比例式

DE

BD

=

BD

AD

=

BE

AB

=

2

3

，设DE=2a，则BD=3a，求出AD=

9

2

a，根据IE=ID-DE=3a-2a=2求出a=2，即可求出答案．

解答：（1）证明：∵点I是△ABC的内心，
∴∠BAD=∠CAD，∠ABI=∠CBI
∴弧BD=弧CD，
∴∠DBC=∠CAD，
∴∠CBI+∠DBC=∠ABI+∠BAD，
∴∠CBI+∠DBC=∠DIB
即∠DBI=∠DIB，
∴ID=BD．

（2）解：∵∠DBC=∠CAD，
 又∵∠BAD=∠CAD
∴∠DBC=∠BAD，
又∵∠BDE=∠ADB，
∴△BDE∽△ADB
∴

DE

BD

=

BD

AD

=

BE

AB

=

2

3

，
设DE=2a，则BD=3a，
则AD=

9

2

a
∵ID=BD，
∴IE=ID-DE=3a-2a=2，
∴a=2，
∴AD=9．

点评：本题考查了三角形内心，三角形外接圆和外心，等腰三角形的性质和判定，相似三角形的性质和判定，圆周角定理，圆心角、弧、弦之间的关系的应用，综合性比较强，有一定的难度．