如图.在平面直角坐标系中.点A.∠AOB的平分线交AB于点C.动点P从点O出发.以每秒2个单位长度的速度.沿y轴向点B作匀速运动.PQ∥AB.交x轴于点Q.过点P.Q作关于直线OC的对称点M.N.连接MC.NC.MN.设点P运动的时间为t．(1)直接写出点M.N的坐标,(2)求C点的坐标,(3)设△MNC与△OAB重叠部分图形的面积额为S．①求S与t的函数关系式,� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

6．

如图，在平面直角坐标系中，点A（2，0）、B（0，4），∠AOB的平分线交AB于点C，动点P从点O出发，以每秒2个单位长度的速度，沿y轴向点B作匀速运动，PQ∥AB，交x轴于点Q，过点P、Q作关于直线OC的对称点M，N，连接MC、NC、MN，设点P运动的时间为t（0＜t＜2）．
（1）直接写出点M、N的坐标（用含t的代数式表示）；
（2）求C点的坐标；
（3）设△MNC与△OAB重叠部分图形的面积额为S．
①求S与t的函数关系式；
②在运动的过程中，△MNC与△OAB重叠部分图形的面积被OC分成1：2两部分，直接写出t的取值范围．

分析（1）利用相似三角形的性质，得出OP与OQ的关系，求得M、N的坐标；
（2）如答图1，作辅助线，由比例式求出点C的坐标；
（3）①所求函数关系式为分段函数，需要分类讨论．答图2-1，答图2-2表示出运动过程中重叠部分（阴影）的变化，分别求解；
②当重合部分的面积等于△CMN的面积时，△MNC与△OAB重叠部分图形的面积被OC分成1：2两部分，即OM≤2时，当S_△CNS=2S_△CSD时，NS=2SD，
得到SM=2SN，点D是MN的中点，求出点D的坐标代入直线AB的解析式，求得t的值．

解答解：（1）∵PQ∥AB，
∴$\frac{OP}{OB}$=$\frac{OQ}{OA}$，即$\frac{OP}{4}$=$\frac{OQ}{2}$，
∴OP=2OQ．
∵P（0，2t），
∴Q（t，0）．
∵对称轴OC为第一象限的角平分线，
∴对称点坐标为：M（2t，0），N（0，t）；

（2）如答图1，过点C作CF⊥x轴于点F，CE⊥y轴于点E，
由题意，易知四边形OECF为正方形，设正方形边长为x．
，∵CE∥x轴，
∴$\frac{BE}{OB}$=$\frac{CE}{OA}$，即$\frac{4-x}{4}$=$\frac{x}{2}$．解得：x=$\frac{4}{3}$
∴C点坐标为（$\frac{4}{3}$，$\frac{4}{3}$）；
∵PQ∥AB，
∴$\frac{OP}{OB}$=$\frac{OQ}{OA}$，即$\frac{OP}{4}$=$\frac{OQ}{2}$，
∴OP=2OQ．
∵P（0，2t），
∴Q（t，0）．
∵对称轴OC为第一象限的角平分线，
∴对称点坐标为：M（2t，0），N（0，t）．

（3）①当0＜t≤1时，如答图2-1所示，点M在线段OA上，重叠部分面积为S_△CMN．
S_△CMN=S_{四边形CMON}-S_△OMN
=（S_△COM+S_△CON）-S_△OMN
=（$\frac{1}{2}$•2t×$\frac{4}{3}$+$\frac{1}{2}$•t×$\frac{4}{3}$）-$\frac{1}{2}$•2t•t
=-t²+2t；
当1＜t＜2时，如答图2-2所示，点M在OA的延长线上，设MN与AB交于点D，则重叠部分面积为S_△CDN．
设直线MN的解析式为y=kx+b，将M（2t，0）、N（0，t）代入得$\left\{\begin{array}{l}{2tk+b=0}\\{b=t}\end{array}\right.$
解得$\left\{\begin{array}{l}{k=-\frac{1}{2}}\\{b=t}\end{array}\right.$，
∴y=-$\frac{1}{2}$x+t；
同理求得直线AB的解析式为：y=-2x+4．
联立y=-$\frac{1}{2}$x+t与y=-2x+4，求得点D的横坐标为$\frac{8-2t}{3}$．
S_△CDN=S_△BDN-S_△BCN
=$\frac{1}{2}$（4-t）•$\frac{8-2t}{3}$-$\frac{1}{2}$（4-t）×$\frac{4}{3}$
=$\frac{1}{3}$t²-2t+$\frac{8}{3}$．
综上所述，S=$\left\{\begin{array}{l}{{-t}^{2}+2t（0＜t≤1）}\\{{\frac{1}{3}t}^{2}-2t+\frac{8}{3}（1＜t＜2）}\end{array}\right.$．
②当0＜t≤1时，或t=$\frac{8}{5}$时，△MNC与△OAB重叠部分图形的面积被OC分成1：2两部分，
如图3-1，当0＜t≤1时，
∵S_△CNS=$\frac{1}{2}$S_△CSM，∴NS=$\frac{1}{2}$SM，∴S_△OSN=$\frac{1}{2}$S_△OSM=$\frac{1}{2}$S_△OSQ，
∴OQ=$\frac{1}{2}$OM，
∴当0＜t≤1时，OM≤2，
∴当0＜t≤1时，△MNC与△OAB重叠部分图形的面积被OC分成1：2两部分，
如图3-2，当S_△CNS=2S_△CSD时，NS=2SD，
∵SM=2SN，∴ND=MD，
∴D（t，$\frac{t}{2}$），
∵直线AB的解析式为y=-2x+4，
∴$\frac{t}{2}$=-2t+4，∴t=$\frac{8}{5}$，
综上所述：当0＜t≤1时，或t=$\frac{8}{5}$时，△MNC与△OAB重叠部分图形的面积被OC分成1：2两部分．

点评本题考查了二次函数与一次函数、待定系数法、相似、图形面积计算、动点问题函数图象等知识点．难点在于第（2）问，正确地进行分类讨论，是解决本题的关键．

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