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    在一个边长为a（单位：cm）的正方形ABCD中.

    （1）如图1，如果N是AD中点，F为AB中点，连接DF，CN.

    ①求证：DF=CN；

    ②连接AC.求DH:HE: EF的值；

    （2）如图2，如果点E、M分别是线段AC、CD上的动点，假设点E从点A出发，以cm/s速度沿AC向点C运动，同时点M从点C出发，以1cm/s的速度沿CD向点D运动，运动时间为t（t＞0），连结DE并延长交正方形的边于点F，过点M作MN⊥DF于H，交AD于N. 判断命题“当点F是边AB中点时，则点M是边CD的三等分点”的真假，并说明理由. （4分）

     

    【答案】

    （1）①证明见解析；②6:4:5；（2）该命题为真命题.

    【解析】

    试题分析：（1）①已知题中告诉的结论四边形为正方形，那么就知道AD=CD，,又知道N是AD中点，F为AB中点，那么就可以得到AF=DN，由此证明△ADF≌△DCN，然后根据全等三角形的性质即可得到结论；②可以根据三角形面积之比来确定线段比例，可以将三条线段归结到一个大的三角形ADF中去，然后设出未知数来求解；（2）要判断命题是否正确，我们采用的方法有两种：一是反证法；二是直接证明，本题中可以采用直接证明法，结合三角形的全等以及线段比例的性质，设出比例系数即可得到问题的答案.

    试题解析：（1）①易证△ADF≌△DCN，则DF=CN；

    ②6:4:5

    （2）该命题为真命题.

    过点E作EG⊥AD于点G，

    依题意得，AE=，易求AG=EG=t，

    CM=t，DG=DM=

    易证△DGE≌△MDN，∴，

    由△ADF∽△DMN，得，

    又∵点F是线段AB中点，AB=AD，

    ∴，∴DM=2DN，即点M是CD的三等分点.

    考点：1.正方形；2.三角形全等；3.相似三角形的性质.

     

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    （1）如图1，当点M与点C重合，求证：DF=MN；
    （2）如图2，假设点M从点C出发，以1cm/s的速度沿CD向点D运动，点E同时从点A出发，以
    		2
    cm/s速度沿AC向点C运动，运动时间为t（t＞0）；
    ①判断命题“当点F是边AB中点时，则点M是边CD的三等分点”的真假，并说明理由．
    ②连结FM、FN，△MNF能否为等腰三角形？若能，请写出a，t之间的关系；若不能，请说明理由．

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    		2
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    ①判断命题“当点F是边AB中点时，则点M是边CD的三等分点”的真假，并说明理由．

    ②连结FM、FN，△MNF能否为等腰三角形？若能，请写出a，t之间的关系；若不能，请说明理由．

     

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    ①判断命题“当点F是边AB中点时，则点M是边CD的三等分点”的真假，并说明理由．
    ②连结FM、FN，△MNF能否为等腰三角形？若能，请写出a，t之间的关系；若不能，请说明理由．

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